Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungsbeispiele Wahrscheinlichkeitsrechnung

Beispiel – Kletterseile – Teil 1 Eine Firma möge Kletterseile für Turnsäle herstellen, die sich durch ihre Reißlast unterscheiden. Dabei sei in den einzelnen Sorten diese Reißlast normalverteilt mit unterschiedlichen Mittelwerten und Standardabweichungen.

Beispiel - Kletterseile Eine Schule bestellt ein Seil dessen Reißqualität in kg mit μ=3600 und σ=80 beschrieben ist. Die Firma lagert die Seilsorten in verschiedenen Kisten, die versehentlich nicht beschriftet sind.

Beispiel - Kletterseile Der Mitarbeiter, der die Bestellung bearbeitet, greift in eine der Kisten und zieht ein Seil mit einer Reißlast von 3690kg heraus! Helfen Sie dem Mitarbeiter weiter!

Lösung: Beispiel - Kletterseile Hypothesen: H0: Die gewählte Kiste ist die richtige Kiste. μ=3600 H1: Sie ist es nicht! μ ungleich 3600

Lösung: Beispiel - Kletterseile Einseitiger Test oder zweiseitiger Test? AW: zweiseitiger Test! Warum? Es liegen keine Angaben über die Richtung der Alternativhypothesen vor!

Für das Beispiel ergibt sich folgender z-Wert: Nachschlagen in der Standardnormalverteilungstabelle:

Standardnormalverteilung

Für das Beispiel ist aber der Antistreubereich gesucht: -1,13 1,13 Wie kann die rote Fläche berechnet werden? = 1 – „der weißen Fläche“

Streubereich

Warum?

Streubereich

Antistreubereich

Für das Beispiel ergibt sich folgender Ablehnungsbereich: Aufgrund 0,258>0,05 behält man die Hypothese, die richtige Kiste gefunden zu haben, bei! (Irrtumswahrscheinlichkeit: 26%)

Beispiel – Kletterseile – Teil 2 Die Firma möge nun nur zwei Arten von Kletterseilen für Turnsäle herstellen, die sich durch ihre Reißlast unterscheiden. Sorte 1: μ=3600 und σ=80 Sorte 2: μ=3800 und σ=80

Beispiel – Kletterseile – Teil 2 Welche Änderungen für die Rechnung ergeben sich dadurch? Ablehnungsbereich? nur auf der rechten Seite der Standardnormalverteilung  Einseitiger Test!

Für das Beispiel ergibt sich erneut folgender z-Wert: Nachschlagen in der Standardnormalverteilungstabelle:

Standardnormalverteilung 1 – 0,871 = 0,129

Standardnormalverteilung 1 – 0,871 = 0,129 Ablehnungsbereich = Irrtumswahrscheinlichkeit

Es gilt: Bei einem einseitigen Test ergebende Irrtumswahrscheinlichkeit ist also kleiner als bei einem zweiseitigen Test!  Bei einem einseitigen Test wird die Nullhypothese eher abgelehnt als bei einem zweiseitigen Test!

Wiederholung: Die Wahrscheinlichkeit, mit der das gefundene Ergebnis oder extremere Ergebnisse bei Gültigkeit von H0 eintreten, bezeichnet man als α-Fehlerwahrscheinlichkeit oder Irrtumswahrscheinlichkeit.

Ist die Richtung der H1 vorgegeben, kann man einseitig testen. Diese Zusatzinformation erlaubt es eher signifikante Unterschiede aufzudecken.

β-Fehler H1 fälschlicherweise abzulehnen Dieser Fehler lässt sich nur bei genauer Kenntnis der H1 berechnen! Im vorliegenden Beispiel berechnet man bei der Kenntnis des alternativen Mittelwerts μ=3800 folgenden z-Wert:

Nachschlagen in der Standardnormalverteilungstabelle: z-Wert: Nachschlagen in der Standardnormalverteilungstabelle:

Zusammenfassung: H0 abzulehnen, obwohl richtig; 12,9% H0 beibehalten, obwohl falsch: 8,4% Erstgenanntes Risiko zu Lasten des Erzeugers; bei Ablehnung der H0 noch einmal in die Kiste greifen muss; Zweitgenanntes Risiko zu Lasten des Kunden, fälschliche Beibehaltung der H0, falsche Sorte von Seil Vgl. Produzenten- bzw. Konsumentenrisiko

β-Fehler 3600 3800 3690

Welcher Zusammenhang lässt sich festhalten? Versucht man den Fehler 1. Art zu verringern, so …… Umgekehrt gilt, …..

Allgemein gilt:

PAUSE

Neues Beispiel Zur Erkennung einer bestimmten psychischen Krankheit wurde ein normverteilter Score entwickelt, der bei den Kranken den Mittelwert 63,9 und die Standardabweichung 5,6, bei den Nichtkranken den Mittelwert 71,3 und die Standardabweichung 4,8 hat. Wie groß sind Fehler 1. und 2. Art, wenn man einen Probanden von 65 in die Gruppe der Kranken einordnet?

Lösung: Einseitiger Test! Fehler 1. Art: z=(65-63,9)/5,6 = 0,20 Nach der z-Tabelle: 1-Φ(0,20)=1-0579 = 0421 Fehler 2. Art: z=(65-71,3)/4,8 = -1,31 Nach der z-Tabelle: Φ(-1,31)=0,095

Interpretation: Risiko H0 abzulehnen, obwohl richtig… nicht krank, obwohl krank = 42,1% Risiko hingegen H0 beizubehalten, obwohl falsch… krank einzustufen, obwohl nicht krank = 9,5%

Literatur Zöfel, Peter: Statistik für Psychologen, Pearson Studium, München 2003 Götz, Reichel et.al. Lehrbuch der Mathematik 8, öbv et hpt, Wien 2003