Vektoren Grundbegriffe für das Information Retrieval Karin Haenelt 13.10.2013

Analytische Geometrie und Lineare Algebra Geometrie: Konstruktionsverfahren mit Zirkel und Lineal Analytische Geometrie: Umsetzung geometrischer Fragen in rechnerische Probleme, um durch „Ausrechnen“ zu Lösungen gelangen 1637 von René Descartes begründet in „La Géométrie“ Lineare Algebra fasst einen Großteil der rechnerischen Methoden der Analytischen Geometrie in erweiterter Form zusammen Bosch. 2006: 1 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Lineare Algebra Definition Vektorraum Definition: ein Vektorraum V über einem Körper K ist eine Menge V mit zwei Verknüpfungen der Form und die man Addition (+) und Skalarmultiplikation () nennt, und für die folgende Axiome gelten: Artin 1998, 95/96 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Lineare Algebra Definition Vektorraum Definition (Fortsetzung) Bezüglich der Addition bildet V eine Abelsche Gruppe Abgeschlossenheit v + w ∊ V, für alle v,w ∊ V Assoziativität (v+w)+u = v+(w+u) , für alle u,v,w ∊ V Neutrales Element e es gibt ein neutrales Element e: v+e = v, für e ∊ V und alle v ∊ V (hier: e ist der Nullvektor ) Inverses Element i es gibt ein inverses Element i: v + i = i + v = e, für alle v ∊ V Kommutativität v+w = w+v , für alle v,w ∊ V Artin 1998, 95/96 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Lineare Algebra Definition Vektorraum Definition (Fortsetzung): Die Skalarmultiplikation ist assoziativ mit der Multiplikation in K: (ab)v = a(bv) für alle a, b ∊ K, v ∊ V Die Skalarmultiplikation mit der reellen Zahl 1 wirkt als identische Abbildung auf V: 1v = v, für alle v ∊ V Es gelten zwei Distributivgesetze (a+b)v = av+bv a(v+w) = av + aw für alle a, b ∊ K, v,w ∊ V und Artin 1998, 95/96 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Lineare Algebra Definition Vektor Definition: Elemente eines Vektorraums werden auch als Vektoren bezeichnet Bosch 2006: 26 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Lineare Algebra Beispiel eines Vektorraumes: n-faches kartesisches Produkt Kn = {(α1, …, αn); αi ∊ K für i = 1, …,n} die Addition Kn ⨁ Kn  Kn werde erklärt durch (α1, …, αn) + (β1, …, βn) = (α1+ β1, …, αn+ βn) die skalare Multiplikation K ⨂ Kn  Kn werde erklärt durch α(α1, …, αn) = (α α1, …, α αn) Bosch 2006: 28 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Lineare Algebra Definitionen und Satz Linearkombination und Basis Definition: Eine lineare Kombination von x1, …, xn hat die Form a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn wobei a1, …, an ∊  die Koeffizienten der Kombination sind. Definition: Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, und sei (v1,…,vn) eine geordnete Menge von Elementen von V. Eine Linearkombination von (v1,…,vn) ist ein Vektor der Form w = c1v1 + c2v2 + …+cnvn, ci ∊ K Satz: eine Menge B = (v1,…,vn) ist genau dann eine Basis, wenn jeder Vektor w ∊ V auf eindeutige Weise als Linearkombination von B geschrieben werden kann Hefferon, 2012, 2 Artin, 1998, 97 Artin, 1998, 100 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Geometrie Vektoren in der mehrdimensionalen Geometrie Reeller n-dimensionaler Raum 1 eindimensionaler Raum, Zahlengerade 2 zweidimensionaler Raum, Ebene 3 dreidimensionaler Raum n n-dimensionaler Raum geometrische Auffassung eines Vektorraumes, Beispiel 2 2 (Menge aller Paare reeller Zahlen) als Modell einer Ebene E auffassen, indem man in E einen Nullpunkt und ein Koordinatensystem mit den Achsen x und y auszeichnet einem Punkt P ∊ E ordnet man das Paar (x1,y1) ∊ 2 zu Bosch, 2006:51 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Geometrie Vektor Eine Vektor ist ein Objekt, das eine Größe und eine Richtung hat. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Größe und die gleiche Richtung haben beschreibt den „eins nach rechts, zwei nach oben“-Vektor im Raum 2 wenn der Vektor in kanonischer Position ist (beginnend am Punkt (0,0) des Koordinatensystems), erstreckt er sich bis zum Endpunkt (1,2) des Koordinatensystems Hefferon, 2012, 34 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Kurzfassung Basis, Komponentendarstellung, Dimension ay ax az y z Linearkombination: Summe von Vielfachen der kombinierten Elemente Eine Basis eines Vektorraumes ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt (Beispiel: kartesisches Basissystem: drei Vektoren vom Größenwert 1, die senkrecht aufeinander stehen) Eine Komponentendarstellung eines Vektors ist die Darstellung eines Vektors durch Komponenten der Basis Komponenten eines Vektors sind die senkrechten Projektionen auf die Basis Dimension eines Vektors ist die Anzahl der benötigten Komponenten © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Darstellung von Vektoren ay ax az y z Linearkombination Komponentendarstellung © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Länge bzw. Betrag eines Vektors Betrag = „Länge des Pfeils“ Satz des Pythagoras a x y c a b „Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypothenuse“ © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Skalarprodukt: Geometrische Deutung Skalarprodukt: - Multiplikation der Beträge zweier Vektoren unter Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit der Vektoren - ergibt eine skalare Größe a b © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Skalarprodukt: Komponentendarstellung Skalares Produkt der Einheitsvektoren (hier: ex und ey) Herleitung (Weltner, 1999, 41) © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Skalarprodukt: Beispiel (Weltner, 1999, 42) © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Literatur Michael Artin (1998). Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A‘Campo. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser Verlag. Siegfried Bosch (2006). Lineare Algebra. Heidelberg: Springer Verlag. Jim Hefferon (2012). Linear Algebra. 29.2.2012. http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra Klaus Weltner (1999). Mathematik für Physiker. Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik. Wiesbaden: Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH. 11. Aufl. 1999 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013