EQUILIBRIUM IN COMPETITIVE INSURANCE MARKETS Rothschild & Stiglitz 1976 EQUILIBRIUM IN COMPETITIVE INSURANCE MARKETS
Inhalt Worum geht es? Basismodell Gleichgewicht mit identischen Individuen Gleichgewicht mit zwei Risikoklassen von Individuen Folgerungen Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Worum geht es? Im Versicherungsmarkt mit imperfekter Information besteht ein getrenntes Gleichgewicht oder kein Gleichgewicht Bei Enthüllung durch Information bezüglich Risiko sind Individuen mit geringem Risiko bessergestellt; für die Individuen mit hohem Risiko ändert sich nichts Ich werde im folgenden zeigen, dass der Versicherungsmarkt mit imperfekter Information kein normales Gleichgewicht besitzt sondern ein getrenntes Gleichgewicht oder kein Gleichgewicht. Des weiteren werde ich zeigen, dass Individuen mit hohem Risiko negative Externalitäten verursachen, die durch die Enthüllung von Information beseitigt werden könnten. Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Basismodell Kein Unfall Ohne Versicherung: W = W1 Mit Versicherung: W = W 2- d Mit Versicherung: W = W2 - d + 2 Das Basismodell geht von 2 Zuständen aus: KEIN UNFALL UND UNFALL Die Einkommen W sind dann folgendermassen definiert:… Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Basismodell - Nachfrage Nachfrage nach Versicherungsverträgen V (p, W1, W2) = (1-p)U(W1) + pU(W2) Wert eines Vertrages V (p, ) = V (p, W-1,W-d+2) Bedingung zum Kauf des Vertrages V (p, ) ≥ V (p, 0) = V (p, W, W-d) Max! V (p, ) PUNKT 1 Die Nachfrage nach Versicherungsverträgen ist definiert als Funktion in abhängigkeit der Eintretenswahrscheinlichkeit p sowie des Einkommens in den zwei Zuständen Nicht-Unfall W1 und Unfall W2 PUNKT 2 Somit ist der Wert eines Vertrages definiert als eine Funktion in Abhängigkeit der Eintretenswahrscheinlilchkeit sowie der Prämien PUNKT 3 Die Individuen werden einen Vertrag erwerben, wenn das erwartete versicherte Einkommen das unversicherte Einkommen übersteigt, dies ist aus folgender Gleichung ersichtlich. Die Bedingung zum Kauf eines Vertrages hängt also wesentlich von der Eintretenswahrscheinlichkeit eines Unfalles sowie der Schadenhöhe ab. PUNKT 4 Zusammengefasst heisst das, dass die Individuen V zu maximieren versuchen. Es wird angenommen, dass die Individuen risio-avers sind und kein Moral Hazard existiert: Die Höhe des Verlustes sowie die Wahrscheinlichkeit p sind nicht durch die Versicherungsdeckung beeinflusst. Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Basismodell - Angebot Wert des Vertrages (p,) = (1-p)1 - p2 = 1 - p(1+2) Es wird jeder Vertrag, der profitabel ist, angeboten Die Versicherer befinden sich in einer Situation der vollkommenen Konkurrenz und des freien Markteintritts. Sie sind risikoneutral und versuchen den erwarteten Gewinn zu maximieren. Der erwartete Gewinn steht in Abhängigkeit der Prämienzahlungen und der Eintretenswahrscheinlichkeit eines Unfalles. Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Definition des Gleichgewichts Kein Vertrag im Gleichgewicht erzeugt einen negativen erwarteten Gewinn Kein Vertrag ausserhalb des Gleichgewichts erzeugt einen positiven Gewinn Unternehmen nehmen an, dass die Angebote der Mitbewerber keinen Einfluss auf das eigene Angebot haben Individuen können nur einen Vertrag kaufen Price and quantity competition Um im weiteren auf die möglichen Gleichgewicht einzugehen, muss das Gleichgewicht zuerst definiert werden: Es wird folgendermassen definiert: ... Eventuell stellt Ihr Euch jetzt die Frage, wieso die Individuen nur einen Vertrag kaufen können: Moral Hazard Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Gleichgewicht mit identischen Kunden V 1(1-p)-2p = 0 F * Bei diesem Gleichgewicht besitzen alle Individuen die gleiche Eintretenswahrscheinlichkeit eines Unfalles, es handelt sich somit nicht um imperfekte Information. Strecke EF : Policen, die angeboten werden: NULL-PROFI-LINIE;[Bedingung oben rechts erfüllt] Punkt F: vollständige Versicherung Punkt E: Zustand ohne Versicherung die Nutzenfunktion V maximiert, womit alpha das Gleichgewicht darstellt. Alpha ist auf einer 45 Grad geraden, da die Individuen risikoavers sind. Somit erfüllt alpha folgende Bedingungen: Es liegt auf der Nutzenfunktion der Individuen und schneidet sich mit den angebotenen Policen Jegliche Verträge die angeboten werden und nicht alpha entsprechen, werden Verluste erzeugen oder maximieren den Nutzen der Individuen nicht. E 45º W1 Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Imperfekte Information: Gleichgewicht mit zwei Individuen - Klassen Low-risk individuals: pL High risk individuals: pH Somit: pH>pL Anteil high-risk individuals: Durchschnittliche Unfallwahrscheinlichkeit: p = pH + (1- )pL Nun kommen wir zum etwas schwierigeren aber interessanteren Fall: Nämlich dem Gleichgewicht mit zwei Kundenklassen unter imperfekter Information. Nochmals als Anmerkung: Imperfekte Information ist die Situation, in der die Individuen ihre Unfallwahrscheinlichkeit kennen, nicht aber die Versicherer Beide Risikoklassen besitzen jedoch dieselbe Nutzenfunktion des Einkommens in den zwei Zuständen. Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Imperfekte Information: Pooling-Gleichgewicht ? Wir sehen hier dieselbe Situation wie zuvor, nun jedoch mit den beiden Nutzenfunktionen für Individuen mit hohem und geringem Risiko. Diese schneiden sich mit den angebotenen Policen im Punkt alpha. Individuen mit geringem Risiko bevorzugen jedoch den Vertrag beta. Somit existiert kein Pooling Gleichgewicht: Individuen mit hohem Risiko bevorzugen den Vertrag alpha, Individuen mit geringem Risiko den Vertrag beta. Falls also ein Gleichgewicht existiert, muss es sich um ein getrenntes Gleichgewicht handeln. Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Imperfekte Information: Pooling-Gleichgewicht ? Folgende Graphik verdeutlicht nochmals die Unmöglichkeit eines Pooling-Gleichgewichts: Das Pooling-Gleichgewicht C3 kann immer durch einen Vertrag der Fläche C6 übertroffen werden (1-pEXP)1 - pEXP2 = 0 Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Imperfekte Information: getrenntes Gleichgewicht (1-ph)1 - ph2 = 0 und (1-pl)1 - pl2 = 0 Strecke LE: angebotene Verträge mit geringem Risiko Strecke EH: angebotene Verträge mit hohem Risiko Beide Risikotypen bevorzugen alpha h beziehungsweise Beta, den Zustand der totalen Versicherung. PROBELM: Beta ermöglicht ein höheres Einkommen als alpha h, somit werden Individuen diesen Vertrag ebenfalls bevorzugen - das heisst, falls alpha h und beta angeboten wird, werden alle Individuen beta kaufen. Dieser Zustand ist jedoch klein Gleichgewicht, da somit der Ertrag negativ wäre. Das Problem für die Versicherer ist, dass sie ja nicht wissen, welcher Risikoklasse die Individuen angehören. Falls sie über dieses Wissen verfügen würden, wäre alpha h und beta das getrennte Gleichgewicht. Ein mögliches Gleichgewicht für Individuen mit geringem Risiko darf nicht attraktiver sein als alpha h was im Punkt alpha L erreicht wird. Somit ist das einzige mögliche Gleichgewicht das Set von Verträgen alpha h und alpha L. Dieses Set MUSS jedoch kein Gleichgewicht sein. Dies zeigt folgende Graphik Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Imperfekte Information: kein Gleichgewicht Wir betrachten den Vertrag Landa. Dieser liegt über der Nutzenfunktion von UL sowie über der Nutzenfunktion Uh. Das heisst, wenn dieser Vertrag angeboten wird, werden ihn beide Risikoklassen kaufen und somit dem getrennten Gleichgewicht vorziehen. Wenn nun dieser Vertrag einen Profit macht, wird das getrennte Gleichgewicht wegfallen. Strecke EF‘ Wenn jedoch zuviele Risikotypen mit hohem Risiko existieren, wird dieser Vertrag Verlust erzeugen. Strecke EF Somit existiert kein Gleichgewicht Da alpha H und alpha L jedoch die einzig möglichen Gleichgewichte sind, kann es sein, dass der Versicherungsmarkt kein Gleichgewicht besitzt. Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Imperfekte Information: kein Gleichgewicht Diesen Zustand seher wir hier nochmachl: Die Verträge C2 und C7 werden durch den Vertrag C8 übertroffen! Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Folgerungen I Die Existenz von Individuen mit hohen Risiko erzeugt eine negative Externalität Falls die Individuen mit hohem Risiko ihre Information preisgeben würden, wären alle bessergestellt. Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger
Folgerungen II Lösungsansatz self-selection-Mechanismus Zukunft: Gentechnologie und Diskriminierung Verschiedene angebotene Verträge bringen die Individuen dazu, Informationen über ihr Risiko zu enthüllen. Problem: Gesetzliche Vorschriften. USA: keine verschiedene Risikoklasse aufgrund von Rasse oder Geschlecht, da diskriminierend. Gesetzgeber stellt das Individuum in den Vordergrund, das heisst, dass ALLEN das gleiche Set von Versicherungspolicen angeboten werden muss. Seminar Finanzintermediation Jeanne Richenberger