Mathematik KKS Schneider Aufgabe: Der Graph einer achsensymmetrischen, ganzrationalen Funktion vierten Grades schneidet die y-Achse bei 4. P (max) (-2|6) ist ein lokales Maximum. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Lösungsweg: Allgemeine Funktionsgleichung: f (x) = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Der Hinweis achsensymmetrisch bedingt: alle Glieder mit ungeraden Exponenten müssen entfallen: d.h. a 3 und a 1 müssen 0 werden. a 3 = 0 und a 1 = 0 jetzt lautet unsere Funktionsgleichung: f (x) = a 4 x 4 + a 2 x 2 + a 0
Mathematik KKS Schneider Hinweis y-Abschnitt: f (x) = 4 Bedingung x = 0 liefert die Bestimmungsgleichung: 4 = a a a 0 f (x) = a 4 x 4 + a 2 x 2 + a 0 a 0 = 4 damit ist unsere Funktion um ein weiteres Glied bestimmt: f (x) = a 4 x 4 + a 2 x Der P (-2|6) ist ein Punkt der Ausgangsfunktion f (x) f (x) = a 4 x 4 + a 2 x Einsetzen des Punktes ergibt: 6 = a 4 (-2) 4 + a 2 (-2) = 16 a 4 + 4a = 16 a 4 + 4a 2 1. Bestimmungsgleichung für a 4 und a 2
Mathematik KKS Schneider Der P (-2|6) ist aber auch ein Maximum d.h. f (x) = 0 Ableitung bilden: f (x) = 4a 4 x 3 + 2a 2 x Einsetzen x = -2 und f(x) = 0 0 = 4a 4 (-2) 3 + 2a 2 (-2) 0 = -32 a 4 – 4 a 2 2. Bestimmungsgleichung für a 4 und a 2 Lösen des Gleichungssystem aus den beiden Bestimmungsgleichungen: + Additionsmethode 2 = 16 a a 2 0 = -32 a 4 – 4 a 2 2 = -16 a 4 a 4 = - einsetzen bringt 0 = -32 (- ) – 4 a 2 4 a 2 = 4 a 2 = 1
Mathematik KKS Schneider Damit ist f (x) bestimmt: f (x) = a 4 x 4 + a 2 x f (x) = - x 4 + x Überprüfung ob bei -2 wirklich ein Maximum existiert: f (-2) < 0 f (x) = - x f (-2) = - (-2) f (-2) = - 4 das bedeutet, das an der Stelle x = -2 ein Maximum liegt. Die gefundene Funktionsgleichung erfüllt also alle geforderten Bedingungen.