Didaktik der Algebra und Funktionenlehre 2 Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Wintersemester 2004/05

Variablen, Terme und Termumformungen

Mathebaum 2, Schroedel 1999

Mathebaum 3, Schroedel 2000

Das Erlernen der Formelsprache gliedert sich nach Vollrath (2003) in sechs Phasen: Intuitiver Gebrauch der Sprache, Reflexion, Erkundung und Aneignung, Nutzung der Sprache, Erweiterung der Sprache, Neue Sprachen.

Intuitiver Gebrauch der Sprache Einfache Anwendungen der Formelsprache, eher keine Reflexion, eher keine Regeln, Platzhalteraufgaben, konkret-anschauliches Vorgehen, Betonung inhaltlicher Aspekte, eher kein Umformungskalkül.

Aufgabe: Ein Bauer hat Hühner und Pferde. Zusammen haben sie 42 Beine und 16 Köpfe. Finden Sie viele verschiedene Lösungswege!

Reflexion Einführung der Bezeichnungen Variable und Term, Diskussion von Sinn und Nutzen, Betrachtung von Variablen als unbekannte Zahlen („Gegenstandsaspekt“), Betrachtung von Variablen als Platzhalter („Einsetzungsaspekt“), Betrachtung von Variablen als Rechenobjekte (Kalkülaspekt).

Neues Mathematisches Arbeitsbuch 8, Diesterweg 1993

Terme werden als Rechenausdrücke definiert. Zahlen und Variablen sind Terme und die Verknüpfung von Variablen und/oder Zahlen ebenfalls. Je nach Formalisierung kann hier der rekursive Charakter herausgestellt werden.

Mathematik 8, Hahn/Dzewas 1990

E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8 E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg. Wie bekommt man Terme?

E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8 E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg. Wie bekommt man Terme?

Formeln und Terme sind sinnvoll: allgemeingültige Beschreibung von inner- und außermathematischen Prozessen; Möglichkeit, eine Situation zu explorieren und allgemeine Einsichten zu bekommen; abstrakte Problemlösung ist planbar und Probleme können allgemein gelöst werden; allgemeingültige Argumentationen (Beweise) sind möglich; über Wissen kann auf abstrakter Ebene kommuniziert werden.

Eine große Rolle beim Umgang mit Termen spielt die Erkennung von Termstrukturen. Die Schülerinnen und Schüler müssen lernen, Terme zu analysieren und übersichtlich darzustellen. Das Erkennen von Termstrukturen ist die Voraussetzung für die Anwendung von Regeln zur Termumformung. Termstrukturen können z.B. anhand von Diagrammen verdeutlicht werden.

E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8 E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Aufgabenbeispiele aus Malle (1993):

Gleichheit von Termen Der nächste Schritt auf dem Weg zu Termumformungen ist das Erkennen der Gleichheit von Termen. Die Gleichheit ist dabei als „Einsetzungsgleichheit“ zu verstehen. In manchen Büchern wird auch der Begriff „Äquivalenz“ verwendet. Die Frage der Gleichheit von Termen tritt auf, wenn zur Lösung einer Aufgabe verschiedene Terme aufgestellt werden können:

Mathematik 8, Hahn/Dzewas 1990

E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8 E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Termumformungen Zwei Terme sind gleich sind, wenn sie durch Termumformungen ineinander überführbar sind. Gleiche Terme sind in der Regel nicht identisch. Es bietet sich der Begriff Äquivalenz an.

Erkundung und Aneignung Ordnen, Zusammenfassen, Auflösen von Klammern, Faktorisieren

1. Schritt: Ordnen Summen: Es üblich in einem Term gleiche Summanden möglichst in alphabetischer Reihenfolge hintereinander zu schreiben, z.B. x+y+x·y+y+x·y+x+y = x+x+x·y+x·y+y+y+y. (Kommutativität der Addition) Aufgrund der Assoziativität brauchen keine Klammern gesetzt zu werden.

2. Schritt: Zusammenfassen In Summen können gleichartige Summanden zusammengefasst werden: a+a+a+b+b = 3a+2b oder 2ab+3ab+2b+4b = 5ab+6b. Begründet werden kann dies mit dem Distributivgesetz: 2ab+3ab = (2+3)ab = 5ab. Analog betrachtet man das Zusammenfassen bei Differenzen. Dabei spielen die Rechenregeln mit negativen Zahlen eine Rolle.

3. Schritt: Auflösen/Ausmultiplizieren von Klammern Beim Auflösen von Klammern geht es um das Subtrahieren eines Klammerausdruckes, d.h. um das Minus-Zeichen vor der Klammer. Es stellt sich die Frage, ob dies konsistent mit dem Ausmultiplizieren von Klammern über das Distributivgesetz eingeführt wird, oder ob man eine eigene Regel dafür angibt. Im ersten Fall ist der auftretende Doppelcharakter des Minus-Zeichens eine Quelle von Schwierigkeiten.

E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8 E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Mathematik 8, Hahn/Dzewas, Westermann 1990

In den meisten Schulbüchern wird das Auflösen von Klammern auf die Regel des Vorzeichenwechsels zurückgeführt. Malle (1993) schlägt vor, diese Regel nicht nur in Worten sondern auch formal anzugeben: A -(B +C) = A -B -C bzw. A -(B -C) = A -B +C. Welche Vorteile sind damit verbunden? Welche Nachteile sind damit verbunden?

Das Ausmultiplizieren von Klammern wird auf das Distributivgesetz zurückgeführt: 4·(3x +4y) = 4·3x + 4·4y=12x +16y oder in einer allgemeineren Form: 3·(2x-5y+z) = 3·2x +3·(-5y) +3·z =6x + (-15)y +3z = 6x -15y +3z. In diesen Bereich gehören auch Aufgaben der Art: x·(3x +4x2) = 3x2 + 4x2.

Neues Mathematisches Arbeitsbuch 8, Diesterweg 1993

Weitere Schritte Kombination des Auflösens und Ausmultiplizierens Multiplikation von Klammern Faktorisieren

Spezialfall: Binomische Formeln Die binomischen Formel sind von großer Bedeutung u.a.beim „geschickten“ Vereinfachen von Termen. Die Schülerinnen und Schüler sollten sich diese Formeln deshalb einprägen. Vollrath (1994) schlägt vor, die binomischen Formeln wegen der besonderen Bedeutung als Satz zu formulieren, dessen Beweis unmittelbar aus dem Ausmultiplizieren der Klammern folgt.

Neues Mathematisches Arbeitsbuch 8, Diesterweg 1993

Für ein sinnvolles Üben und der Vorbeugung von Schülerfehlern, spielt die Stufung der Übungsaufgaben eine zentrale Rolle. Typische Fehler, die immer wieder auftreten sind z.B. Fehler beim Auflösen von Klammern, z.B. x-(2y+x)=x-2y+x ; Verwechseln von Termen, z.B. 2x statt x2 ; Kürzen aus Summen; ...

Malle (1993) unterscheidet in drei Fehlerkategorien: Fehler bei der Informationsaufnahme und Informationsverarbeitung, z.B. 3 + a statt 3a; Fehler beim Regelaufruf oder der Regelanwendung, z.B. a 2 + b 2 = (a-b)(a+b); Fehler bei der Durchführung, z. B. Flüchtigkeitsfehler wie Vorzeichenfehler.

Vollrath (1994) ordnet die Tätigkeiten beim Termumformen drei Ebenen zu: die konkrete Handlungsebene, auf der die konkreten Handlungen ablaufen; die gedankliche Handlungsebene, auf der die gedachten Handlungen den konkreten vorausgehen; die Steuerungsebene, auf der durch Regeln, Ziele und Kontrollmechanismen bestimmt wird, was zu tun ist.

aus Vollrath, 1994

aus Vollrath, 1994

Aufgrund der auftretenden Fehlerkategorien und des Modells der Handlungsebenen sind folgende Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler von besonderer Bedeutung: das Erkennen von Termstrukturen, sichere und flexible Verwendung der Regeln, Aufbau von Kontrollmechanismen.

Zur Förderung dieser Fähigkeiten schlägt Vollrath folgende Maßnahmen vor: sorgfältige Stufung des Schwierigkeitsgrades bei Aufgaben, anschauliche Verankerung der Begriffe und Regeln, Hilfen bei Fehlern, die den Kern des Problems treffen, Ermutigung durch Schaffen von Erfolgserlebnissen, Wecken von Freude am Einfachen, Übersichtlichen durch Wahl von geeigneten Aufgaben mit passenden Ergebnissen.

Vollrath, 1994

Nutzung der Sprache Korrekter Gebrauch der Formelsprache Betrachten der Leistungsfähigkeit Anwendungsbereiche aufzeigen

Satz des Pythagoras (Vollrath, 1994)

Erweiterung der Formelsprache Bruchterme Wurzelterme Potenzrechnung

Bruchterme sind Terme, bei denen eine Variable im Nenner vorkommt. Neues Mathematisches Arbeitsbuch 8, Diesterweg 1993. Bruchterme sind Terme, bei denen eine Variable im Nenner vorkommt.

Bei den Bruchtermen tritt eine Schwierigkeit neuer Qualität auf: Bruchterme sind nicht definiert für Einsetzungen, bei denen der Nenner Null wird! Hier ergibt sich die Notwendigkeit, die Definitionsmenge eines Terms einzuführen (bisher bestand die Definitionsmenge implizit oder explizit immer aus allen rationalen Zahlen!).

Mathematik 8, Hahn/Dzewas, Westermann, 1990

Wurzelterme Wurzelterme sind Terme, in denen Wurzelausdrücke (Quadratwurzel) vorkommen. Auch hier ist die Definitionsmenge der Terme zu beachten, da Wurzelausdrücke nur für nicht-negative Zahlen definiert sind. Ähnlich wie bei Bruchtermen werden die Rechenregeln mit Quadratwurzeln auf die Terme übertragen.

Regeln für Quadratwurzeln: Mathematik 9, Hahn/Dzewas, Westermann, 1991

Die Potenz-rechnung als Erweiterung der Formelsprache Vollrath, 1994

Neue Sprachen Schaltalgebra Boolesche Algebra Dieser Aspekt hat eine eher geringere Bedeutung für den Mathematikunterricht.

Literatur Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig: Vieweg. Vollrath, H.J. (2001). Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum. Vollrath, H.J. (20032). Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum.