Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller

Agenda Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift

Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift 100: Spirale, die aus Tau gelegt werden kann 100 000: stand ursprünglich für unzählig 1 000 000: früher für Darstellung eines Mannes, der wegen der Größe der dargestellten Zahl erschrocken sei; neuere Untersuchungen: Genius, der Himmelsgewölbe stützt; Symbol steht auch für Ewigkeit oder Million Jahre; verlor spezifischen Zahlenwert, stand für Menge oder Ewigkeit Ziffernsystem Abbild des Zählens mit Gegenständen wie z.B. Kieseln oder Stäbchen

Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Ziffernsystem beruht auf additivem Prinzip: Zur Darstellung einer bestimmten Zahl mussten Ziffern wiederholt werden Identische Zeichen werden gruppiert Gruppierung, damit Zeilen nicht zu lang werden und Entziffern nicht zu schwer; Gruppen aus 2,3,4 oder mehr Zeichen häufig übereinander gestellt Möglichst so gebündelt, dass Zahl schnell erkannt werden kann

Rechentechnik Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Additiver Charakter der ägyptischen Mathematik an verwendeten Fachwörtern und Methoden zu sehen Bei Notation wird mit größten Zehnerpotenz begonnen

Rechentechnik – Addition Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Fachwort für addieren: „vereinigen“ oder „hinzulegen“ Erhält Ergebnis durch Hinschreiben der zu addierenden Zahlen und anschließendem Anpassen der Symbole für Zehnerpotenzen

Rechentechnik – Addition Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Beispiel: 1 202 416 + 352 745 „Berechnung“ Berechnung geschieht durch zusammenschreiben gleicher Individualzeichen Anschließend werden die Individualzeichen entsprechend der Zehnerpotenzen angepasst, so dass das Ergebnis abgelesen werden kann Anpassung der Zehnerpotenzen

Rechentechnik – Subtraktion Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Fachwort für subtrahieren: „abbrechen“ oder „ergänzen“ (als Addition umschrieben) Erhält Ergebnis durch Wegstreichen

Rechentechnik – Subtraktion Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Beispiel: 1 202 416 - 352 745 Entbündelung von 1 202 416: Ausrechnen der Differenz durch Wegstreichen:

Rechentechnik – Multiplikation Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Entstehung aus Addition deutlich Fachwort für multiplizieren: „Hinzulegen“ Ist das gleiche wie bei Addition Multiplikation ist etwas komplizierter und bedarf mehr Aufwand als Addition und Subtraktion

Rechentechnik – Multiplikation Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Multiplikation mit 10 im Kopf Bedeutet Veränderung des Individualzeichens Einmaleins fehlt ihnen Verdopplung ist als eigene Rechenoperation bekannt Berechnung einer schwierigeren Aufgabe mittels Additionsschemas Für das Additionsschema sind drei Schritte notwendig, die nachfolgend an einem Beispiel beschrieben werden

Rechentechnik – Multiplikation Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Beispiel: 15 · 13 Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten In rechte Spalte Multiplikator 15 eintragen In linken Spalte Multiplikand 1 eintragen 1 15 Zur besseren Übersicht und zum einfacheren Verständnis nicht die Zahldarstellung der Ägypter, sondern unsere

Rechentechnik – Multiplikation Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift In nachfolgenden Zeilen jeweils das doppelte der vorhergehenden eintragen, bis der errechnete Multiplikand nicht größer ist als 13 1 15 2 30 4 60 8 120 Bei der Markierung wird die dritte (ganz linke) Spalte verwendet

Rechentechnik – Multiplikation Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Markieren der Zeilen, die bei Addition der linken Spalte 13 ergeben 1 + 4 + 8 = 13

Rechentechnik – Multiplikation Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Durch Addition der rechten Spalte der markierten Zeilen erhält man das gesuchte Ergebnis / 1 15 2 30 4 60 8 120 Also erhält man 15 · 13 durch: 15 + 60 + 120 = 195

Rechentechnik – Division Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Ist umgekehrte Multiplikation und sieht gleich aus Wird mit zwei „Fragen“ formuliert: „Rechne mit x bis (zum) Finden (von) y“ oder „Rufe y hervor aus x“ Da das Vorgehen fast genau so ist, wie bei Multiplikation, ist Division nicht in so vielen Einzelschritten beschrieben.

Rechentechnik – Division Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Beispiel: „Rechne mit 15 bis (zum) Finden (von) 195“ [195 : 15] Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten In rechte Spalte Divisor 15 eintragen In linken Spalte 1 eintragen In nachfolgenden Zeilen jeweils das doppelte der vorhergehenden eintragen, bis der errechnete Divisor nicht größer ist als 195

Rechentechnik – Division Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Markieren der Zeilen, die bei Addition der rechten Spalte 195 ergeben 1 15 2 30 4 60 8 120 / 1 15 2 30 4 60 8 120 15 + 60 + 120 = 195

Rechentechnik – Division Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Durch Addition der linken Spalte der markierten Zeilen erhält man das gesuchte Ergebnis / 1 15 2 30 4 60 8 120 Also erhält man 195 : 15 durch: 1 + 4 + 8 = 13

Rechentechnik – Division Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Wenn Dividend kleiner als Divisor, muss mit Halbieren gerechnet werden Hierzu sind Brüche erforderlich Beispiel: 2 : 8 1 8 ½ 4 / ¼ 2 Vollkommen anderes Verfahren der Division im Papyrus Rhind: A * 1/B. Hier liegt scheinbar ein Einfluss der Babylonier vor. Also erhält man für 2 : 8 = ¼

Rechentechnik – Bruchrechnung Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Brüche werden wie ganze Zahlen geschrieben, aber mit Hieroglyphe „Mund“ darüber Rechneten fast nur mit Stammbrüchen Für ½, ⅔ und ¾ eigene Zeichen: „Mund“ soll in diesem Zusammenhang „Teil“ bedeuten Scheinbar gibt es in den unterschiedlichen Büchern auch unterschiedliche Angeben, für welche Brüche es gesonderte Zeichen gibt:  für ¼, „Mund“ mit einem Strich in der Mitte drunter für ⅓ ½ ⅔ ¾

Rechentechnik – Bruchrechnung Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Darstellung von Brüchen durch Summe von Teilbrüchen Keine Wiederholung des selben Bruchs erlaubt 3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 keine zulässige Aufteilung des Bruches

Rechentechnik – Bruchrechnung Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Bei der Übertragung schreibt man für 1/n Z.B. wird ⅔ in dieser Schreibweise notiert Diese vereinfachte Darstellung wird scheinbar verwendet, um Aufgaben schnell und übersichtlich zu notieren

Rechentechnik – Bruchrechnung Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Addition von Stammbrüchen: Aufgabe aus Papyrus Rhind 37 Unter letzten 5 Stammbrüchen sind rote Hilfszahlen notiert Hilfszahlen geben den Faktor an, mit dem die Brüche erweitert werden müssen usw.

Rechentechnik – Bruchrechnung Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Durch Addition der Hilfszahlen erhält man 72 Somit hat man errechnet, was sich zu kürzen lässt Zusammen mit den ersten drei Brüchen kann man leicht das Gesamtergebnis 1 berechnen

Rechentechnik – Bruchrechnung Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Subtraktion von Stammbrüchen Aufgabe aus Papyrus Rhind 21 Man errechnet das Ergebnis leicht, indem man 15 - 11 = 4 bestimmt Somit ergibt Dies können die Ägypter jedoch erst nach der Division von 4 : 15 notieren 2/3 mit 10 erweitert ergibt 20/30, was sich zu 10/15 kürzen lässt

Rechentechnik – Bruchrechnung Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift „Rechne mit 15 bis du 4 findest“ Zuerst wird 1 ½ als von 15 bestimmt 1 15 1 ½ Erste Zeile: : 10 Zweite Zeile: * 2 Dritte Zeile: : 3

Rechentechnik – Bruchrechnung Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Anschließend ist dann 3 von 15 Nun fehlt noch 1 bis zum gewünschten Ergebnis, also 1 15 1 ½ 3 1 15 1 ½ 3

Rechentechnik – Bruchrechnung Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Somit muss die dritte und die vierte Zeile ergänzt werden, denn 3 + 1 = 4 Die gesuchte Notation von ist also: 1 15 1 ½ / 3

Hieroglyphen und hieratische Schrift Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift Hieratische Schrift ist Vereinfachung der Hieroglyphen Durch Schematisierung und Reduzierung auf das Wesentliche entstanden Charakteristische Merkmale hinzugefügt, um Verwechselungen zu vermeiden Hieratische Schrift wurde über die Zeit immer weiter vereinfacht, so dass teilweise eine Entwicklung erkennbar ist

Hieroglyphen und hieratische Schrift Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift

Hieroglyphen und hieratische Schrift Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift

Fragen …??? Christiane Beller

Quellen Vogel, Kurt: Vorgriechische Mathematik, Teil 1. Hannover: Hermann Schoedel Verlag, Paderborn: Verlag Ferdinand Schöningh, 1958 Ifrah, Georges: Universalgeschichte der Zahlen. Frankfurt/Main, New York: Campus Verlag, 2. Auflage der Sonderausgabe 1991 Gericke, Helmut: Mathematik im Orient. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer Verlag, 1984 http://www.meritneith.de/mathematik.htm http://home.fonline.de/fo0126//geschichte/ges1.htm

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit Ende Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit Christiane Beller