Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am Fr. 08:30-10:00 Uhr; R (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D Kassel Dr.-Ing. René Marklein Tel.: ; Fax: URL: URL:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Quellen-Ersatzzweipole Die Ersatzspannungsquelle Beliebiges lineares Netzwerk irgendwo aufgetrennt: ( 2.54 ) Bild Linearer Zweipol (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005]) Bild Die Klemmenspannung an einem linearer Quellenzweig (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005]) Linearer Zweipol möglicher Last- widerstand Da das Netzwerk linear ist, muss gelten: Leerlauf Entspricht: Klemmen A-B offen! Kurzschluss Entsprcht: Klemmen a-b kurzgeschlossen!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Quellen-Ersatzzweipole Die Ersatzspannungsquelle Beliebiges lineares Netzwerk irgendwo aufgetrennt: Da Netzwerk linear, muss gelten: ( 2.54 ) Leerlaufversuch: ergibt Kurzschlussversuch: ergibt Eingesetzt in Gl. (2.54): Bild Linearer Zweipol (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005]) Zusammengesetzt ergibt das für Gl. (2.54): d.h. für den Innenwiderstand: Eingesetzt in Gl. (2.54): Linearer Zweipol möglicher Last- widerstand ( 2.55 ) ( 2.56 ) ( 2.57 ) Leerlauf Entspricht: Klemmen A-B offen! Kurzschluss Entsprcht: Klemmen a-b kurzgeschlossen!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Die Ersatzspannungsquelle Der Zusammenhang kann durch die Schaltung beschrieben werden – unabhängig davon, wie der ursprüngliche Zweipol im Innern aufgebaut ist, solange er linear ist! Bild Ersatzspannungsquelle für einen beliebigen linearen Zweipol mit der Leerlaufspannung U 1 und dem Kurzschlussstrom I K (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005]) Vorgehensweise zur Bestimmung der Ersatzspannungsquelle nach Helmholtz/Thévenin: Bestimme die Leerlaufspannung U L Bestimme den Kurzschlussstrom I K Bestimme den Innenwiderstand über den Quotient Leerlaufspannung zu Kurzschlussstrom:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.15: Berechnung von Leerlaufspannung und Innenwiderstand einer Ersatzspannungsquelle Bestimmung der Leerlaufspannung: Lösung: Bild Linearer Zweipol (Spannungsteiler) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 58, 2005]) Gegeben: Linearer Zweipol (Spannungsteiler) nach Bild Gesucht: Ersatzspannungsquelle? Spannungsteiler (unbelastet): (2.59) Leerlaufspannung

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.15: Berechnung von Leerlaufspannung und Innenwiderstand einer Ersatzspannungsquelle Bestimmung des Kurzschlussstromes Kurzschlussstrom: (2.58) Kurzschluss Kurzschluss über dem Widerstand R 2 Widerstand R 2 kann heraus- genommen werden! Bestimmung des Innenwiderstandes Innenwiderstand (2.60)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.15: Berechnung von Leerlaufspannung und Innenwiderstand einer Ersatzspannungsquelle Kurzschlussstrom: Innenwiderstand Lösung: Bild Linearer Zweipol (Spannungsteiler) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 58, 2005]) Bild Ersatzspannungsquelle eines Spannungsteilers (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 59, 2005]) (2.58) (2.60) Ersatzspannungsquelle: Gegeben: Linearer Zweipol (Spannungsteiler) nach Bild Gesucht: Ersatzspannungsquelle? (2.59) Leerlaufspannung:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Die Ersatzstromquelle Bei der Spannungsquelle galt nach Gl. (2.47): Aus der Gl. (2.44) für ihre Klemmenspannung wird damit Bild 2.41a. Ersatzspannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 59, 2005]) Bild 2.41b. Abhängigkeit des Klemmenstromes I von der Klemmenspannung I bei einer linearen Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 59, 2005]) (2.61) (2.62) (2.44) (2.47) Leerlauf Entspricht: Klemmen A-B offen! Kurzschluss Entspricht: Klemmen a-b kurzgeschlossen!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.16: Berechnung des Quellenstromes und Innenwiderstandes einer Ersatzstromquelle analog Beispiel 2.15 Lösung: Kurzschlussfall Leerlaufspannung Innenwiderstand Bild Ersatzstromquelle für einen Spannungsteiler (Bild 2.39) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 60, 2005]) Ersatzstromquelle Bild Linearer Zweipol (Spannungsteiler) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 58, 2005]) Gegeben: Linearer Zweipol (Spannungsteiler) nach Bild Gesucht: Ersatzstromquelle?

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmung des Innenwiderstands allgemein: Innenwiderstand R I lässt sich wie folgt aus der Ursprungsschaltung berechnen: Alle inneren Spannungsquellen kurzschließen (kurzgeschlossener Zweig) Alle inneren Stromquellen öffnen (offener Zweig) Widerstand des resultierenden (inneren) Netzwerkes ermitteln = Innenwiderstand!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmung des Innenwiderstands allgemein: Innenwiderstand R I lässt sich wie folgt aus der Ursprungsschaltung berechnen: Alle inneren Spannungsquellen kurzschließen (kurzgeschlossener Zweig) Spannungs- quelle kurz- schließen Stromquelle öffnen Alle inneren Stromquellen öffnen (offener Zweig) Widerstand des resultierenden (inneren) Netzwerkes ermitteln = Innenwiderstand!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmung des Innenwiderstands allgemein: Innenwiderstand R I lässt sich wie folgt aus der Ursprungsschaltung berechnen: Widerstand des resultierenden (inneren) Netzwerkes ermitteln = Innenwiderstand! Dies ist der resultierende Innenleitwert oder Innenwiderstand, den man von außen von den beiden Klemmen sieht, d.h. durch Strom- und Spannungsmessung bestimmen würde.

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmung des Innenwiderstands allgemein: Strom und Spannung am Zweipol ohne innere Energiequelle werden durch den Innenwiderstand bestimmt; dieser lässt sich also aus dem Ersatzwiderstand des Zweipols, wie von außen von den beiden Klemmen gesehen, berechnen) Dies lässt sich erklären durch Verallgemeinerung des Falles Keine Quelle:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.17: Parallelschaltung von drei Spannungsquellen Gesucht: Bild Parallelschaltung dreier Spannungsquellen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005]) Gesucht: Gegeben ist die nebenstehende Parallelschaltung. Spannung an dem Klemmenpaar N und M :

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.17: Parallelschaltung von drei Spannungsquellen Lösung: Kurzschlussstrom Kurzschluss Bild Ersatzstromquelle zum Zweipol in Bild 2.43 (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005]) Ersatzstromquelle

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V (2.64) Beispiel 2.17: Parallelschaltung von drei Spannungsquellen Mit für die Klemmenspannung: Lösung: Kurzschlussstrom Bild Ersatzstromquelle zum Zweipol in Bild 2.43 (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005]) Bild Zur Bestimmung des Innenwiderstandes eines Zweipols (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005]) Innenwiderstand aus Bild 2.44 folgt

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Äquivalenz von Zweipolen Beispiel 2.18: Vergleich äquivalenter Zweipole Lösung: Trotz gleicher Leerlaufspannungen und Kurzschlussströme sind alle Schaltungen im Innern vor allem bezüglich der umgesetzten Leistungen ungleich! Leerlauf Kurzschluss Bild Vier äquivalente Quellenzweipole (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 66, 2005]) A Zwei parallel geschaltete Spannungsquellen B Spannungsteiler C Ersatz- Spannungsquelle D Ersatz- Stromquelle

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Leistung an Zweipolen Wirkungsgrad Energie-Wirkungsgrad: Leistungs-Wirkungsgrad: Da ist solange bzw. der Quotient der Leistungen zeitlich konstant sind! (2.66) (2.67)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V (2.70) Wirkungsgrad Nutzleistung: Gesamtleistung aus der Quelle Q Also Belastete Spannungsquelle mit Lastwiderstand R : Ausgangsspannung (2.68) (2.69) (2.71)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.19: Wirkungsgrade bei Belastung einer Auto-Batterie Spannung: Innenwiderstand Anlassvorgang über 30 s mit Lastwiderstand Danach für 10 min Betrieb mit Betriebswiderstand Lösung: Leistungswirkungsgrad beim Anlassen und im Betrieb Spannungsquelle (Auto-Batterie): Belastungszustände

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.19: Wirkungsgrade bei Belastung einer Auto-Batterie Energiebeträge im Betrieb Energiewirkungsgrad im gesamten Zyklus Energiebeträge beim Anlassen

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.20: Leistungs-Wirkungsgrad einer Taschenlampe Glühlampe mit Nenndaten ( N ): Zwei Kohle-Zink Batterien in Serie mit je Gegeben: Gesucht: a) Welchen Leistungs-Wirkungsgrad hat die Schaltung? b) Es stehen vier Batterien (mit ebenfalls je 1,5 V und 1,25 Ω) zur Verfügung. Welche Betriebsspannung U und welchen Betriebswiderstand R (Verbraucher) müsste eine Glühlampe haben, die bei Anschluss an die vier hintereinander geschalteten Batterien ebenfalls 0,5 W aufnehmen soll? Welcher Leistungs-Wirkungsgrad ergibt sich nun?

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.20: Leistungs-Wirkungsgrad einer Taschenlampe Mit der Abkürzung wird daraus Zuerst Leistungswirkungsgrad Lösung: a) Widerstand der Glühlampe b) Dimensionierung einer Lampe mit für Betrieb an 4 Batterien: Widerstand R der neuen Lampe?

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.20: Leistungs-Wirkungsgrad einer Taschenlampe Damit folgende die beiden Wirkungsgrade: Auflösung der quadratischen Gleichung liefert Mit (quasi Kurzschluss) (sehr schlechter Wirkungsgrad) Betriebsspannung

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V (2.73) Leistungsanpassung Leerlauf Kurzschluss Die gesamte Leistung wird im Innenwiderstand der Quelle umgesetzt! Wir suchen Verhältnis bei dem Leistung am Verbraucher maximal wird: Allgemein gilt für die umgesetzte Leistung am Lastwiderstand R : Bild Verbraucherleistung in Abhängigkeit vom Widerstandsverhältnis (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 67, 2005]) (2.72)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Leistungsanpassung Leistungsanpassung Weitere Hilfsgröße ist Leistung umgesetzt am R I der Quelle im Kurzschluss (K) ist erfüllt für Analysis – Differenzialrechnung – Quotientenregel: Hier da Extremwert (Maximum) = erste Ableitung Null setzen (2.75) (2.76)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Leistungsanpassung Leistungsanpassung Unter- anpassung Über- anpassung Bild Verbraucherleistung in Abhängigkeit vom Widerstandsverhältnis (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 67, 2005]) Spannungs- anpassung Kurzschluss Strom- anpassung Leerlauf

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Leistungsanpassung Spannungs-, Leistungs- und Stromanpassung Man unterscheidet drei sog. "Anpassungen" von Spannungs- bzw. Stromquelle und Verbraucher: Spannungsanpassung: Die Spannungsanpassung ist die am häufigsten vorkommende Art des Verhältnisses von Quellenwiderstand R i und Lastwiderstand R a. Die Quelle kommt einer idealen Spannungsquelle ( R i = 0 ) nahe, weil R i << R a (Mindestbedingung: R a = 10 R i ). Die Spannung ist also annähernd konstant und im Allgemeinen von der Last unabhängig. Die Leistung wird praktisch ausschließlich an der Last und nur zu einem sehr geringen Teil am Innenwiderstand umgesetzt. Spannungsanpassung liegt der Energietechnik vor und in der Übertragung von Signalen bei Audiosignalen (Niederfrequenz!) Spannungsanpassung in der Nähe der Leistungsanpassung heißt Überanpassung. Leistungsanpassung: Die Leistungsanpassung ermöglicht es, einer Quelle die maximale Leistung zu entnehmen. Innenwiderstand und Last sind gleich groß: R i = 10 R a. Leistungsanpassung stellt zwar die maximale Leistungsübertragung von der Quelle an die Last sicher, doch wird dieselbe Leistung auch am R i in der Quelle umgesetzt. Das heißt 50 % der Quellenleistung werden an die Last übertragen. Daher findet die Leistungsanpassung vor allem in der Nachrichten- bzw. Hochfrequenztechnik Anwendung. Hier werden die Impedanzen von Quelle und Last leistungsangepasst, um Reflexionen zu vermeiden. Das ist der Grund warum Antennenleitungen (für haushaltsüblichen Rundfunk Impedanz 75 Ω ) nicht mit einer einfachen Klemme parallel geschaltet werden dürfen. Stromanpassung: Die Stromanpassung kommt relativ selten vor. Die Quelle kommt einer idealen Stromquelle ( R i ) nahe, weil R i >> R a (Mindestbedingung: R i = 10 R a ). Der Strom ist also annähernd konstant und im Allgemeinen von der Last unabhängig. Der größte Teil der Leistung wird am Innenwiderstand der Quelle umgesetzt. Stromanpassung wird beim Laden von Akkumulatoren (NiCd, NiMH, aber nicht bei Bleiakkus!) und in der Messtechnik verwendet. Stromanpassung in der Nähe der Leistungsanpassung heißt Unteranpassung.

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Ende der Vorlesung