Die Standardnormalverteilung Stichproben - 1

z-Standardisierung Mit der z-Standardisierung wird eine Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung umgewandelt. Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung, für die gilt: μ = 0 σ = 1 Die z-Standardisierung erfolgt in zwei Schritten: Zunächst wird von jedem Messwert der Mittelwert subtrahiert. Dann wird das Ergebnis durch die Standardabweichung geteilt. 05_stichprobentheorie 2

Die Standardnormalverteilung z Fläche -3.00 0.00 -1.50 0.07 0.50 1.50 0.93 -2.90 -1.40 0.08 0.10 0.54 1.60 0.95 -2.80 -1.30 0.20 0.58 1.70 0.96 -2.70 -1.20 0.12 0.30 0.62 1.80 -2.60 -1.10 0.14 0.40 0.66 1.90 0.97 -2.50 0.01 -1.00 0.16 0.69 2.00 0.98 -2.40 -0.90 0.18 0.60 0.73 2.10 -2.30 -0.80 0.21 0.70 0.76 2.20 0.99 -2.20 -0.70 0.24 0.80 0.79 2.30 -2.10 0.02 -0.60 0.27 0.90 0.82 2.40 -2.00 -0.50 0.31 1.00 0.84 2.50 -1.90 0.03 -0.40 0.34 1.10 0.86 2.60 -1.80 0.04 -0.30 0.38 1.20 0.88 2.70 -1.70 -0.20 0.42 1.30 2.80 -1.60 0.05 -0.10 0.46 1.40 0.92 2.90 Stichproben - 3

Schätzung von Prozenträngen Ein Prozentrang gibt an, wie viel Prozent der Population Werte kleiner oder gleich einem kritischen Wert haben. Wenn man Mittelwert und Standardabweichung einer eines Merkmals kennt, und dieses normalverteilt ist, kann man den Prozentrang aus der z-Tabelle ablesen. Der z-Wert entspricht der Abweichung vom Mittelwert in „Standardabweichungs-Einheiten“ (z.B. bei 1,5 Sdt--Abweichungen über dem Mittelwert  z = 1.50) Stichproben - 4

Schätzung von Prozenträngen und Wahrscheinlichkeiten Beispiel: Der Intelligenzquotient ist immer so skaliert, dass er einen Mittelwert von 100 und eine Streuung von 15 hat. Damit können Sie folgende Fragen beantworten: Welchem Prozentrang entspricht ein Testwert von (a) 115; (b) 94.5; (c) 75; (d) 100; (e) 140? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Wert (a) von 85 bis 130 (b) von 70 bis 115 Stichproben - 5

Die Standardnormalverteilung z Fläche -3.00 0.00 -1.50 0.07 0.50 1.50 0.93 -2.90 -1.40 0.08 0.10 0.54 1.60 0.95 -2.80 -1.30 0.20 0.58 1.70 0.96 -2.70 -1.20 0.12 0.30 0.62 1.80 -2.60 -1.10 0.14 0.40 0.66 1.90 0.97 -2.50 0.01 -1.00 0.16 0.69 2.00 0.98 -2.40 -0.90 0.18 0.60 0.73 2.10 -2.30 -0.80 0.21 0.70 0.76 2.20 0.99 -2.20 -0.70 0.24 0.80 0.79 2.30 -2.10 0.02 -0.60 0.27 0.90 0.82 2.40 -2.00 -0.50 0.31 1.00 0.84 2.50 -1.90 0.03 -0.40 0.34 1.10 0.86 2.60 -1.80 0.04 -0.30 0.38 1.20 0.88 2.70 -1.70 -0.20 0.42 1.30 2.80 -1.60 0.05 -0.10 0.46 1.40 0.92 2.90 Stichproben - 6

Der Standardfehler des Mittelwertes Die Streuung der Verteilung der Mittelwerte wird auch als Standardfehler des Mittelwertes bezeichnet. Der Standardfehler gibt an, wie nah ein empirischer Stichprobenmittelwert am wahren Populationsmittelwert liegt. Dieser Standardfehler des Mittelwertes kann direkt berechnet werden, ohne dass man mehrere Stichproben erheben muss: Stichproben - 7

Der Standardfehler des Mittelwertes Beispiel: In einer bestimmten Population, z.B. in einer Hochbegabten-Klasse, soll für ein Forschungsprojekt der mittlere IQ bestimmt werden. Es werden 10 Kinder getestet. Es ergibt sich Mittelwert von 125 bei einer geschätzten Populationsvarianz von 90. Wie groß ist der Standardfehler dieses Mittelwertes? Wie groß wäre der Standardfehler bei einer Varianz von 250? Und wie groß, wenn 90 Kinder getestet worden wären? Stichproben - 8

Interpretation des Standardfehlers Der Standardfehler ist die Standardabweichung der Stichprobenkennwerteverteilung. Da diese normalverteilt ist, kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass der Mittelwert in einem bestimmten Intervall liegt. Mit p=.68 ist der Populations-mittelwert höchstens einen Std.-Fehler vom Stichproben-mittelwert entfernt Stichproben - 9

Wichtig! Standardfehler Standardabweichung Standardabweichung der Stichprobenkennwert- Verteilung Standardfehler des Mittel- wertes Streuung der Stichprobenkennwerte um den Mittelwert Populationsschätzer

Konfidenzintervalle Da der Populationsmittelwert unbekannt ist, wird ein Intervall um den Stichprobenmittelwert angegeben, in dem der Populationsmittelwert mit einer bestimmten Wahr-scheinlichkeit liegt. Stichproben - 11

Standardfehler für andere Kennwerte Relative Häufigkeit (p) Median Arithmetisches Mittel Standardabweichung Stichproben - 12

Standardfehler für relative Häufigkeiten Wie groß ist der Standardfehler der relativen Häufigkeit von Frauen unter Psychologiestudierenden (p=.74)? Wie groß dann das 95% Konfidenzintervall? Stichproben - 13

Standardfehler des Medians Wie groß ist der Standardfehler des Medians der subjektiven Ängstlichkeit (Md = 43.5; σ = 19.95)? Wie groß dann das 95% Konfidenzintervall? Stichproben - 14

Standardfehler der Standardabweichung Wie groß ist der Standardfehler der Standardabweichung der subjektiven Ängstlichkeit (σx = 19.95)? Wie groß dann das 95% Konfidenzintervall? Stichproben - 15

Vorraussetzungen für die Berechnung des Standardfehlers Es gibt 2 Vorraussetzungen dafür, dass der Standardfehler nach den bisher genannten Formeln berechnet werden kann: Die Stichprobe muss repräsentativ für die Population sein Das Merkmal muss normalverteilt sein Stichproben - 16

Auswahlverfahren Es gibt unterschiedliche Verfahren, wie Personen für eine Stichprobe ausgewählt werden. Grundsätzlich unterscheidet man zufallsgesteuerte und nicht-zufallsgesteuerte Auswahlverfahren. In aller Regel sind zufallsgesteuerte Verfahren vorzuziehen, da sie repräsentative Stichprobenzusammensetzungen gewährleisten. Stichproben - 17

Uneingeschränkte Zufallsauswahl In diesem Verfahren hat jedes Mitglied einer Population die gleiche Chance, in die Stichprobe aufgenommen zu werden. Vorraussetzung: Man braucht hierfür ein Register, das alle Personen der Population umfasst. Beispiel: Einwohnermelderegister. Vorgehen: Meist wird ein Computerverfahren verwendet, dass eine bestimmte Anzahl von Probanden aus dem Register auswählt. Stichproben - 18

Geschichtete Zufallsauswahl Eine Zufallsauswahl wird innerhalb bestimmter Teil-populationen gebildet. Das Verhältnis der Teilpopulationen wird dann in der Stichprobe berücksichtigt. Beispiel: Für eine Untersuchung der Studienmotivation an Universitäten stehen unterschiedliche Gruppen von Studierenden zur Verfügung. Die Gruppe der Molekularmediziner ist sicherlich kleiner als die Gruppe der angehenden Juristen und es wird angenommen, dass sich diese Gruppe hinsichtlich der Motivation unterscheiden. Diese Unterschiede im Gruppenumfang sind „Schichtung“ der Stichprobe zu berücksichtigen, indem das Verhältnis der Studierendenzahl in den jeweiligen Fächern auf die Stichprobe übertragen wird. Vorteil: Geringere Varianz innerhalb der Teilpopulationen. Stichproben - 19

Mehrstufige Zufallsauswahl In mehreren Schritten wird jeweils eine Teilpopulation zufällig ausgewählt. Beispiel: Untersuchung über das Coping eines Herz-infarktes. Zufällige Auswahl einer Stadt  Zufällige Auswahl einer Klinik  Zufällige Auswahl einer Patientenstichprobe. Nachteil: Die Repräsentativität der Stichprobe (und damit die Generalisierbarkeit der Ergebnisse) ist problematisch. Stichproben - 20

„Klumpenauswahl“ Als „Klumpen“ wird eine Teilpopulation bezeichnet, die voll-ständig erhoben wird. Damit ist die Klumpenauswahl ein Spezialfall der mehr-stufigen Zufallsauswahl. Beispiel: Für eine Untersuchung über die Berufziele von Psychologiestudierenden wird zufällig das erste Semester der Uni Freiburg gewählt. Dann werden alle 84 Erst-semester befragt. Nachteil: Die Repräsentativität der Stichprobe (und damit die Generalisierbarkeit der Ergebnisse) ist problematisch. Besser: Mehrere „Klumpen“ verwenden. Stichproben - 21

Nichtzufallsgesteuerte Auswahlverfahren Bei Nicht-Zufallsgesteuerten Auswahlverfahren ist die Repräsentativität immer fraglich. Daher kann es zu Fehlern bei der Schätzung des Standard-fehlers kommen. Beispiel: Wenn für eine Umfrage eine Gruppe von Freunden befragt wird (z.B. weil der Interviewer diese gleichzeitig antrifft), dann haben diese in aller Regel ähnliche Einstellungen, Ansichten und Eigenschaften. Daher werden sie auch die Fragen in ähnlicher Weise beantworten (geringe Varianz!). Dadurch wird der Standardfehler unterschätzt. Stichproben - 22

Quotenauswahl Bei der Quotenauswahl werden Personen so ausgewählt, dass bestimmte Quoten erfüllt sind (Geschlecht, Alter, Sozialer Status, etc.). Dies ist dann problematisch, wenn (a) die Quoten nicht den Anteilen an der Population entsprechen, oder (b) wenn innerhalb der Quoten keine Zufallsauswahl erfolgt. Stichproben - 23

Ad hoc Auswahl (Gelegenheitsstichprobe) Bei der „ad hoc“ Auswahl werden die Personen aus-gewählt, die zum Untersuchungszeitpunkt einfach zu erreichen sind. Beispiel. Ein Dozent will ein kurzes Experiment machen, und beauftragt die Hilfskräfte der Abteilung, daran teilzunehmen, da diese direkt im Nebenraum sitzen. Stichproben - 24

Theoriegeleitete Auswahl Die Auswahl der Stichprobe erfolgt nach theoretischen Gesichtspunkten. Beispiel: Zur Evaluation einer neuen Therapieform werden Patienten mit einer besonders schweren Zwangs-erkrankung ausgewählt. Stichproben - 25

Übung Zur Untersuchung der Einkommensverhältnisse in Organisationen in Deutschland wird eine Zufallsauswahl von 8 Bundesländern getroffen. In diesen Ländern werden jeweils 10% der Organisationen erfasst. Um welches Verfahren der Stichprobenauswahl handelt es sich? => Mehrstufige Zufallsauswahl