Die Duration von Standard Anleihen 21.03.2017 Die Duration von Standard Anleihen Berechnungsverfahren und Einflussgrößen Mrz-17 Andreas Schulte-Kemper, Finanzmathematik

<<Name>>, <<Fach>> Symbolverzeichnis D: Duration Zt: Zins- und Tilgungszahlungen t: Betrachtungszeitpunkt r: gegenwärtige Marktrendite des betrachteten Titels n: Frist bis zur letzten Fälligkeit P0: Barwert oder Marktwert des Finanztitels dP: infinitesimale Marktwertänderung dr: infinitesimale Marktzinsänderung Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

Andreas Schulte-Kemper, Finanzmathematik Gliederung 21.03.2017 Malcauly duration definition beispielrechnung Modified duration Übungsaufgaben Mrz-17 Andreas Schulte-Kemper, Finanzmathematik

Andreas Schulte-Kemper, Finanzmathematik Macauly Duration Definition: Gewichteter Durchschnitt der Zeitpunkte der Zahlungen Angabe über durchschnittliche Kapitalbindung Beispiel 1: Anleihe über 5 Jahre Kupon 4 % Marktzinsniveau 5 % Duration 4,62 Jahre Merke: Malcauly Duration Maßeinheit in Jahren Je höher der Coupon desto größer die Duration Je höher die Laufzeit desto länger die Duration Je höher das Marktzinsniveau desto kürzer die Duration Mrz-17 Andreas Schulte-Kemper, Finanzmathematik

Gewichteter Zahlungsstrom Berechnung Beispiel 1 Marktzinsniveau 5% Zeitpunkt (t) Cashflow (Z) Barwert Gewichteter Zahlungsstrom 1 4 3,81 2 3,63 7,26 3 3,46 10,37 3,29 13,16 5 104 81,49 407,43 95,67 (Kurs der Anleihe) 442,03 Duration 4,62 Jahre In einer Formel ausgedrückt heisst dies: 442,03 D = = = 4,62 Jahre 95,67 Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

<<Name>>, <<Fach>> Ableitung aus der Barwertformel: Die Duration kann insbesondere zur Herstellung eines Zusammenhangs zwischen einer bestimmten marginalen Änderung des Marktzinssatzes und der aus ihr resultierenden relativen Marktwertänderung verwendet werden: Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

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<<Name>>, <<Fach>> Modified Duration Definition: Instrument zur Analyse des Zinsänderungsrisikos Die Modified Duration (MD) misst die Zinssensivität einer Anleihe Die MD gibt an, wie sich der Dirty Price* einer Anleihe verhält wenn man sich die Rendite um einen Prozentpunkt verändert Merke: Modified Duration Maßeinheit in Prozent Je höher der Coupon desto größer die MD Je höher die Laufzeit desto niedriger die MD Je höher das Marktzinsniveau desto niedriger die MD *Dirty Price = Barwert der Anleihe, bzw. Preis incl Stückzinsen Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

<<Name>>, <<Fach>> Berechnung der Modified Duration anhand der Malcauly Duration: Malcauly Duration Modified Duration = Marktzinsniveau ( 1 + ) 100 In Anwendung auf Beispiel 1: 4,62 Modified Duration = = 4,40 % 5 ( 1 + ) 100 Dies multipliziert mit dem Kurs von 95,66 € ergibt 4,21 € Fazit: Verändert sich die Rendite um 1 %, verändert sich der Kurs um 4,21 €! Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

<<Name>>, <<Fach>> Vereinfachung der Formel (6) durch die Modified Duration: (7) [mit MD =D / (1+i)] MD * Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

<<Name>>, <<Fach>> Damit die Darstellungen übersichtlich bleiben, gelten folgende Vorraussetzungen: Auf- und Abzinsungen erfolgen mit dem klassischen Zinseszinskalkül (i: diskreter Jahreszins) Die untersuchten Anleihen (Bonds) bestehen aus endfälligen Kupons, der erste Kupon in höhe Z, ist ein Jahr nach dem Planungezeitpunkt (=Kaufzeitpunkt) t= 0 fällig, die Restlaufzeit der Anleihe beträgt n Jahre, am Ende der Restlaufzeit wird die Anleihe zum rücknahmekurs Cn (meist mit 100 %, d.h. zu pari angenommen) vollständig getilgt. Die untersuchten Anleihen haben also folgende zeitliche Zahlungsstruktur, bezogen auf einen Nominalwert von 100 €: Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

<<Name>>, <<Fach>>   Wegen t1 = 1, t2 = 2, …, tn = n sowie Z1 = Z2 = … = Z (Wobei Zn ungleich Z + Cn) lässt wie folgt schreiben:   Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

<<Name>>, <<Fach>> Im Nenner steht als Kurs-Funktion C0(i) der übliche Anleihen- Barwert mit 1 + i =q):   (Kursfunktion C0(q) bzw. C0(i)) Der Zähler besteht mit Ausnahme des letzten Summaneden aus einem Summen Term   Stellt man die dabei abzuzinsende gewichteten Zahlungen t * Z auf dem Zahlenstrahl so dar, so ergibt sich (Ohne Berücksichtigung des Rücknahmekurses C0: Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

<<Name>>, <<Fach>> d.h. wie haben es mit einer arithmetisch veränderlichen Rente zu tun, bei der die Differenz zweier aufeinander folgenden Zahlungen Z beträgt   umformen Addiert man hierzu noch den gewichteten Rücknahmekurs n * Cn und zins tann auf t = 0 ab, so erhält man (nach Division durch C0 und unter Berücksichtigung der Tatsache dass sich der Abszinsunfaktor q-n herauskürzt) schließlich die Macauly Duration zu:   Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

<<Name>>, <<Fach>> Bzw. nach einiger Umformung:   D = Malcauly Duration für endfällige Kupon-Anleihen Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

<<Name>>, <<Fach>> Kupon Z sowie Rücknahmekurs Cn sind entweder a) nur in Geldeinheiten oder b) nur in dezimal einzusetzen. Mit den Zahlen aus dem ersten Beispiel ergibt sich folgendes für eine Rechnung in Geldeinheiten:   Beispiel 1: Volumen 100 Anleihe über 5 Jahre Kupon 4 % Marktzinsniveau 5 % Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>

<<Name>>, <<Fach>> Die Berechnungsvorschrift der Malcauly Duration lässt mit etwas Aufwand auch weiter vereinfachen zu     Mit den Daten von Beispiel 1 erhalten wir wieder dasselbe Ergebnis der Duration   Mrz-17 <<Name>>, <<Fach>>