Analoge vs. Digitale Informationen Analoge Information Z.B. Dimmer Lampenzustand ist Funktion von Widerstand Digitale Information Schalter Lampenzustand ist Tabelle von Schalterzustand Schalter Zustand Auf Dunkel Zu Hell Technische Informatik I (SS 2006)

Analoge vs. Digitale Informationen: Beispiele Analoge Information Tonband Zeigermessgerät Theoretisch unendlich genau Praktisch: Ablese- und Reproduktionsgenauigkeit Analogrechner Digitale Information Diskretisierung der Zustände CD/DVD Digitales Messgerät Theoretisch ungenau Reproduzierbar Digitale Rechner Technische Informatik I (SS 2006)

Digitale Informationen Mathematischer Hintergrund: Boolsche Algebra N diskrete Zustände Technisch „einfache“ Realisierung: N=2: „Binär“ 0,1 An, Aus Strom fließt/fließt nicht Zwei Spannungspegel Wahr, Falsch Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Teil 1: Logik 1a: Schaltfunktionen Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Negation Funktion einer Variablen y = ¬x Alternativ: y = x y = x‘ y = ~x Schaltsymbole x y 1 0 x y 1 Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Und-Verknüpfung y = a & b Alternativ: y = a · b y = ab Schaltsymbole a b y Es gilt: y = (a & b) & c = a & (b & c) = a & b & c & a b y a b y 1 a c y b Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Oder-Verknüpfung x = a | b Alternativ: x = a + b Schaltsymbole a b x x a b 1 ≥1 Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Gatterschaltungen y = (a & e) | (b & e) y = f (a,b,e) Eigenschaften: e = 0 („Enable“) y = 0 e = 1 y = a | b a 0 0 1 e y b e a b y Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Gatterschaltungen y = (a & e) | (b & e) y = f (a,b,e) Ziel: Implementierung von „f“ zu einfach wie möglich Kosten Gatterlaufzeit („Geschwindigkeit“) y = (a | b) & e e a b y a b e y a b e y Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) NAND Weiteres Gatter: NAND y = ¬(a & b) Schaltsymbol Ersatzschaltung Analog: NOR a b y a b y 1 a b y Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) XOR „Exclusive OR“ y = a ≡ b Auch: „Antivalenz“ Schaltsymbol Ersatzschaltung a b y ≡ a b y 1 1 1 1 0 1 1 Technische Informatik I (SS 2006)

Exkurs: Timing-Diagramme Zeitliche Darstellung von Gatterschaltungen Hier: Eingänge a,b,e zeitlich variabel y e a b a=1 =0 b=1 =0 e=1 =0 y=1 =0 Zeit Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Boolsche Algebra George Bool (1854) Drei Operationen „|“ (ODER, DISJUNKTION, auch: „+“) „&“ (UND, KONJUNKTION, auch: „ · “) „¬“ (NICHT, NEGATION, auch ) Zwei Werte (0,1) Technische Informatik I (SS 2006)

Boolsche Algebra: Axiome Kommutativität: a|b = b|a , a&b = b&a Neutrales Element: 0|a=a , 1&a=a Distributivität x = a & (b | c) = (a & b) | (a & c) x = a | (b & c) = (a | b) & (a | c) Komplementäres Element a |¬a = 1 b & ¬b = 0 Dualität Durch Vertauschung von 1↔0 sowie „|“↔„&“ entsteht wieder gültige Aussage Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Gesetze zur Umformung Assoziative Gesetze x = a & b & c = a & (b & c) = (a & b) & c x = a | b | c = a | (b | c) = (a | b) | c Distributive Gesetze x = a & (b | c) = (a & b) | (a & c) x = a | (b & c) = (a | b) & (a | c) De Morgansche Gesetze x = ¬(a & b) = ¬a | ¬b x = ¬(a | b) = ¬a & ¬b Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Normalformen y ist nur dann 1, wenn Zeile zu 1 verknüpft: y1=¬a & ¬b & ¬c y2=¬a & ¬b & c y5= a & ¬b & ¬c Zeile verODERn: y=(¬a & ¬b & ¬c) | (¬a & ¬b & c) | (a & ¬b & ¬c) DISJUKTIVE Normalform a b c y 1 Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Normalformen y ist nur dann 0, wenn Zeile zu 0 verknüpft: y3= a | ¬b | c y4= a | ¬b | ¬c y6=¬a | b | ¬c y7=¬a | ¬b | c y8=¬a | ¬b | ¬c Zeile verUNDen: y=(a | ¬b | c) & (a | ¬b | ¬c) & (¬a | b | ¬c) & (¬a | ¬b | c) & (¬a | ¬b | ¬c) KONJUNKTIVE Normalform a b c y 1 Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Normalformen Jede Schaltfunktion lässt sich als genau eine konjunktive disjunktive Normalform darstellen Abgesehen von Vertauschungen sind diese Formen eindeutig Daraus folgt: Alle Schaltfunktionen sind durch die 3 boolschen Grundoperationen darstellbar Technische Informatik I (SS 2006)

Darstellung der 3 Grundoperationen Können mit ¬, &, | alle Funktionen darstellen Brauchen wir auch diese 3 Gatter? NICHT („¬“) kann durch NAND dargestellt werden UND kann durch NAND dargestellt werden y x ist gleich x y ist gleich a b y y a b Technische Informatik I (SS 2006)

Darstellung der 3 Grundoperationen ODER kann durch NAND dargestellt werden DeMorgan: y = ¬(¬a & ¬b) = a | b NOT vor jeden Eingang: y a b Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Zusammenfassung Binäre Schaltfunktionen y(a,b,c….) Als Wahrheitstabelle Oder Darstellung durch 3 Grundoperationen: NICHT, UND, ODER Als boolsche Funktion Als Schaltung Suche kostensparende Form der Implementierung von y() Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Zusammenfassung Umformungsgesetze: Assoziativgesetze, Distributivgesetze und deMorgan KV-Diagramme Suche nach Logikblöcken VerUNDere Variablen, verODERe Blöcke Normalformen Darstellung jeder Schaltfunktion durch konjunktive, bzw. disjunktive Normalform benötigt nur die 3 Grundoperationen Darstellung aller Grundoperationen durch z.B. NAND Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Teil 1: Logik 1b: Schaltnetze Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Schaltnetze Schaltnetze sind Funktionen, die von mehrere gleichen Eingangsvariablen abhängen y1=y1(x1….xn) y2=y2(x2….xn) … ym=ym(x1….xn) Beispiel für Schaltnetze: Addition und Subtraktion von Zahlen Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Zahlensysteme Römische Zahlen Buchstaben: I=1, V=5, X=10 Nicht skalierbar… Arabische Zahlen: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 10 Ziffern (10 Finger?) 1972 = 2*1 + 7*10 + 9*10*10 + 1*10*10*10 Skalierbar! Logik: 2 Zustände darstellbar 2 Ziffern: 0,1 Technische Informatik I (SS 2006)

Duales (Binäres) Zahlensystem Bsp: 1010 = 0*1 + 1*2 + 0*2*2 + 1*2*2*2 = 10 Allgemein: Wertigkeit = 2Stelle-1 2er-Potenzen wichtig: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048… Dezimal -> Binär Teilen + Rest bilden… Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Umwandlung der Zahl 1972 2er-Potenzen: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048… Dezimal -> Binär 11. Stelle: 1972 / 1024 = 1, Rest 948 10. Stelle: 948 / 512 = 1, Rest 436 9. Stelle: 436 / 256 = 1, Rest 180 8. Stelle: 180 / 128 = 1, Rest 52 7. Stelle: 52 / 64 = 0, Rest 52 6. Stelle: 52 / 32 = 1, Rest 20 5. Stelle: 20 / 16 = 1, Rest 4 4. Stelle: 4 / 8 =0, Rest 4 3. Stelle: 4 / 4 =1, Rest 0 1972 entspricht 111 1011 0100 Technische Informatik I (SS 2006)

Exkurs: Hexadezimalzahlen In Digitaltechnik praktisch: Alle Zahlensysteme mit einer Basis 2N Kann Bits zusammenfassen Gebräuchlich: Oktalsystem (3 Bits) Hexadezimalsystem (4 Bits) Gute Basis zur Beschreibung von Speicherstellen (da 8/16/32/64 Bit) Digits: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Bsp: 1972=111 1011 0100 0x7 B 4 Technische Informatik I (SS 2006)

Im Prinzip wie im Dezimalsystem Übertrag beachten (1+1=10, 1+1+1=11) Rechenregeln Im Prinzip wie im Dezimalsystem Übertrag beachten (1+1=10, 1+1+1=11) 0111 +1011 10 11 10 10 =10010 10010 - 1011 11 11 11 10 =00111 Ziel: Rechenregeln durch Gatterlogik aufbauen Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Teil 1: Logik 1b: Schaltnetze Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Addition 2-Bit-Addition Summe S und Übertrag Ü Funktionstabelle Halbaddierer Keine Verarbeitung des EINGANGSÜbertrages Kann nur für die niedrigste Stelle verwendet werden Schaltsymbol A B Ü S 1 A B S ≡ A B Ü HA A B S Ü Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Volladdierer Brauchen dritten Summanden (C = „carry“) Addition A+B Addition +C Da nie Ü1=Ü2=1 Verbleibende Überträge verodern VA A C S Ü B HA C S Ü2 HA A B S1 Ü1 Ü Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Paralleladdierer Ziel: Addition von 0111 + 1011 4 2-Bit-Additionen plus Übertrag (C) Brauchen 4 Volladdierer VA A4 B4 S5 C S4 VA A3 B3 Ü3 C S3 VA A2 B2 Ü2 C S2 VA A1 B1 Ü1 C S1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Subtraktion 2-Bit-Subtraktion A-B Differenz D und Entlehnung E Funktionstabelle Halbsubtrahierer Keine Verarbeitung der EINGANGSEntlehnung Kann nur für die niedrigste Stelle verwendet werden Schaltsymbol A B E D 1 A B D ≡ A B E HS A B D E Technische Informatik I (SS 2006)

Technische Informatik I (SS 2006) Vollsubtrahierer Hier: A - (B + C) Addition B+C Subtraktion A - Summe Da nie Ü1=E2=1 Verbleibende Überträge verodern VS A C D E B HS C D E2 HA B C S1 Ü1 E Technische Informatik I (SS 2006)

Volladdierer / -subtrahierer Volladdierer vs. Subtrahierer Austausch durch HA↔HS in 2ter Stufe HA vs. HS Nur ein logisches UND Fazit: Brauchen umschaltbaren Inverter u A I 1 u A I ≡ Technische Informatik I (SS 2006)

Weitere wichtige Schaltnetze? Zusammenfassung Halbaddierer / -subtrahierer unterscheiden sich nur durch ein NICHT-Gatter Umschaltbarer HA/HS möglich Brauchen Volladdierer… HA+HA Brauchen Vollsubtrahierer… HA+HS …für parallele Rechenwerke Weitere wichtige Schaltnetze? Technische Informatik I (SS 2006)