Seminarthema 4 Numerische Methoden der Eigenwertberechnung Von: Robert Schirmer Matnr.: Betreuer: Prof.Dr Eiermann

Inhalt: von-Mises - Verfahren Inverse Iteration shifted Inverse Iteration

von-Mises Verfahren / Power-Methode Voraussetzungen: (V1) A (n x n) A diagonalisierbar es gibt eine Basis des aus Eigenvektoren von A (V2) jeder Vektor aus als Linearkombination dieser Basisvektoren

Verfahren: man wählt beliebigen Startvektor und bildet Iterationsfolge,,... nach (V2): da gilt

Verfahren iterativ fortsetzen umstellen:

Was passiert wenn ? laut (V1) folgt => man erhält also ein Vielfaches des Eigenvektors zum zugehörigen Eigenwert Folgerung: von Mises Verfahren liefert betragsgrößten EW falls deshalb verwendet man stets normierte da so folgt: konvergiert gegen normierten EV zum EW -> siehe späteres MATLAB Bsp.

Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens ist sehr gering falls (da so nur langsam gegen NULL strebt) es konvergiert umso schneller, je kleiner ist Wie erhält man Eigenwert? Durch Rayleigh-Quotienten: Beweis:

Algorithmus: i=0 repeat until Konvergenz (normierter EV) (EW) Siehe Mises.m

Inverse Iteration Nun Suche nach dem betraglich kleinsten EW Macht sich zunutze wenn so da beim von-Mises-Verfahren der betraglich größte EW war, so ist nun der betraglich kleinste EW es ist also zu lösen: da man nicht die Inverse berechnen will stellt man um und erhält: bei jedem Iterationsschritt ist also ein Gleichungssystem zu lösen

Beispiel: Es gilt zu beachten das nach jedem Schritt wieder normiert wurde durch:, da sonst sehr groß werden könnten. durch Rayleigh erhält man den EW beim 6. Schritt:

Shifted Inverse Iteration Diese oben genannte Verfahren kann man nun noch erweitern: Nehmen wir an wir suchen einen EW in der Umgebung von Wir bedienen uns dem Shiften : man erhält EW durch Inverse Iteration erhalten wir einen fiktiven kleinsten EW-> man muss noch zurückshiften und erhält wahren EW in der Umgebung von. Das Verfahren konvergiert umso schneller, je kleiner das Verhältnis: Wobei der Abstand zum nächstgelegensten EW und der Abstand zum zweitnächsten ist. Siehe inverse_shift.m

Quellen: Gene H. Golub and Charles F. Van Loan. Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, MA, 3rd edition, 1996 James W. Demmel. Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphis, PA, 1997 Numerik für Eigenwertaufgaben Dr. Norbert Herrmann