Seminarthema 4 Von: Robert Schirmer Matnr.: 41460 Betreuer: Prof.Dr Eiermann.

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1 Seminarthema 4 Von: Robert Schirmer Matnr.: 41460 Betreuer: Prof.Dr Eiermann

2 Z6 Z5 Z4 Z3 Z1 Z2

3 Z6 Z5 Z4 Z3 Z1 Z2 Z1 Z6 Z5 Z4 Z3 Z2

4 A Wir wissen, Verfahren geht gegen EV mit betragsgrößtem EW Punktkoordinaten Was passiert mit Polygon wenn k gegen unendlich?

5 Nächste Betrachtung: EV/EW der beiden Matrizen EV/EW von Matrix I klar WAS aber mit denen von S?

6 Wenn man nun 6-mal iteriert, so folgt Somit muss auch gelten: S besitzt n Eigenwerte (alle n-ten Einheitswurzeln) matrix_S.m matrix_S.m

7 Sx= x Ax = (1/2 I+1/2 S)x = 1/2x+1/2 X= 1/2(1+)x Sx Ew Wissen nun, dass die Eigenwerte von A sind. und wenn x EV von S, so x auch EV von A 1 w1 w4 w3 w2 w5 w0

8 Wir legen den Schwerpunkt im Polygon so fest, dass gilt: Da EV Basis des kann z als Linearkombination geschrieben werden Da aber =1 (siehe Folie 6) und sum(z)=0 gilt, muss Null sein. Somit strebt die Iterationsfolge gegen den zweitgrößten EW, dies sind aber der 2. und 3. (vgl. vorherige Folie), da einer jeweils das konjugiert komplexe des anderen ist.

9 Man erhält also, dass Beide Eigenwerte haben regelmäßige n-Ecke (vgl. Folie 5) als Eigenvektoren. Summe Beider ergibt aber wieder ein regelmäßiges n-Eck. Siehe MATLAB: polygon.m