3.2 und 3.2.1: Räumliches Sehen und Koordinaten und Vektoren David Rival 3.2 und 3.2.1: Räumliches Sehen und Koordinaten und Vektoren Quelle: „Spieleprogrammierung mit DirectX und C++“, U. Kaiser und P. Lensing, Galileo Computing (2007)

3.1 Räumliches sehen Mit 2 Augen werden 2 leicht unterschiedliche 2 Dimensionale Bilder erfasst . Aus den Differenzen der beiden Einzelbilder wird die fehlende Tiefeninformation zurück gewonnen und 3D. Verdeckung Perspektive, Tiefe aus dem Verlauf der Kanten Beleuchtung- Schattenwurf Flächenschatten und Schlagschatten Glanzpunkte ( besonders bei gekrümmten Formen in Verbindung mit Flächenschatten) Bewegung ( die Szene, der Blick des Betrachters)

3.2.1 Koordinaten und Vektoren (S.139) Gebundener Vektor als ein Pfeil vom Kreuzungspunkt der beiden Achsen zum Punkt

Die Länge des Vektors (S.140) Die Länge (Betrag) des Vektors Multiplikation des Vektors v mit einem Faktor c (Skalar) Veränderung der Länge durch Veränderung des Faktors

Addition von 2 Vektoren (S.141) Addition von Vektor v1 = ( a1, b1 ) und v2 = ( a2, b2 ) v1 + v2 = (a1, b1) + (a2, b2) = ( a1 + a2, b1 + b2 ) Beide Pfeile laufen zusammen zum Ergebnisvektor:

Polarkoordinatendarstellung (S.141) Beschreibung des Vektors durch seine Länge ‚r‘ und den Winkel ‚α‘ Berechnung der Vektoren durch die Einheitsvektoren e1 = ( 1,0) und e2 = (0,1) e1 und e2 stehen senkrecht aufeinander und haben die Länge 1 Durch Addition, Multiplikation und Skalar kann jeder Vektor der Ebene berechnet werden

Winkelmessung (S.142) Messung im Bogenmaß mit Radius = 1 Umfang 2 ת Jedem Winkel lässt sich ein Bogenmaß zwischen 0 und 2 ת zuordnen Zusammenhang zwischen Winkel ‘ α ‚ und den Achsenabschnitten

Sinus und Cosinus beschreiben die Achsenabschnitte (S.143/1) Die Sinus- und die Cosinus-Funktionen beschreiben die Achsenabschnitte eines im Abstand 1 um den Koordinatenursprung umlaufenden Punktes P in Abhängigkeit vom Winkel α, den die Linie vom Ursprung bis zu diesem Punkt mit der x-Achse bildet. p = ( x,y ) = ( cos(α), sin(α))

Radius mit beliebiger Größe (S.143/2) Ändern des Radius auf eine beliebige Größe r v = r * ( cos(α), sin(α)) Sinus und Cosinus Funktionen geben die x und y Koordinaten eines Vektors, wenn die Polarkoordinaten bekannt sind.

Berechnung der Länge (S.144) Wenn α und r gesucht sind (Polarkoordinaten) Berechnung der Länge mit der Formel des Pythagoras. Berechnung des Quotienten x / y Wird als Tangens des Winels α bezeichnet.

Berechnung von α (S.145/1) Wenn x > 0 , dann liegt der gesuchte Bereich um den Ursprung , zwischen – ת/2 und ת/2.

Berechnung von α (S.145/2) Der Bereich zwischen – ת/2 und ת/2 läst sich durch die Umkehrfunktion des Tangens, Arcustangens berechnen. Die Funktion wird ermittelt durch Spiegeln des mittleren Asts der Tangensfunktion an der geraden y = x. Für positive Werte von x

Berechnung von α (S.146/1) Wenn x < 0, wird der „gegenüber“ liegende Punkt mit den Achsenabschnitten –x und –y betrachtet. Falls x = 0, entscheidet y,

Projektion eines Vektors auf einen anderen. (S.146) 2 Vektoren a und b in ihrer Polarkoordinatendarstellung Zwischen Vektoren b und a ist der Winkel α – β

Skalarprodukt (S.147) Zwischen Vektoren b und a ist der Winkel α – β Die Länge l der Projektion des Vektors a auf den Vektor b wird wie folgt berechnet: l = ║a║ * cos ( α – β ) Durch Multiplikation mit b / ║b║ erhalten wir einen Vektor der parallel zu b ist und die Länge hat. Das Ergebnis wird mit ║b║ erweitert: Das Skalarprodukt: ║a║ * ║b║ * cos ( α – β ) = <a,b> Die Projektion a auf b durch: <a,b> / ║b║² * b Einfacher: <a,b> = a1 * b1 + a2 * b2

(S.148/1) Projektion des Vektors a auf b Wenn 2 V. senkrecht stehen, dann hat die Projektion die Länge = 0 ( <a,b> mit Länge=0) Da die Proj. Eines V. auf sich selbst seiner Länge entspricht. Zerlegung eines Vektors bezüglich anderer Vektoren mit dem Skalarprodukt.

Zerlegung eines Vektors (S.148/2) Zerlegung des Vektors w (1,2) bezüglich der Vektoren v1 (-1,2) und v2 (2,1) Die Probe: