Mathematik des Bridge Tanja Schmedes

Aufbau des Seminars Anzahl Hände obere und untere Grenzen der legalen Spielsequenzen Vergleich zu anderen Spielen vollständige / unvollständige Information Häufigkeiten Mischprogramme Vorführung eines Mischprogramms anhand von Big Deal Verknüpfung eines Mischprogramms mit einem Double Dummy Solver

Anzahl Hände Anzahl möglicher Hände: Spieler 1: Spieler 2: Spieler 3: Spieler 4: Insgesamt: Spieler 1 · Spieler 2 · Spieler 3 · Spieler 4 =53.644.737.765.488.792.839.237.440.000

Verteilungen Verteilung charakterisiert Hände Gestalt der Hände in Bezug auf die 4 Farben mögliche Verteilung einer Hand : 4-4-4-1 := 4  4  4  1  allgemeine Formel: {Anzahl Karten die Spieler i in Farbe j hat, mit i:= 1...4, j:= 1() 2() 3() 4()} Wahrscheinlichkeit einer 13-0-0-0 Verteilung einer Hand: 0.0000000003% Wahrscheinlichkeit einer 4-4-3-2 Verteilung einer Hand: 21.551 %

Erlaubte Spielzüge Fall, das Spieler 1 alle Karten einer Farbe hat und immer herauskommt für Spieler 1: 13 Möglichkeiten, den 1. Stich zu spielen 12 Möglichkeiten, den 2., ... für Spieler 2-4: jeweils N Möglichkeiten, zu bedienen ergibt für den ersten Stich Möglichkeiten für das gesamte erste Spiel Möglichkeiten

Obere und untere Grenze obere Grenze liegt bei untere Grenze liegt bei mittels des Prinzips der Verteilung Grenzen verfeinern: wenn die vier Hände bekannt sind: Anzahl lps´s : Maximum: wie oben, Minimum: wenn nur zwei Hände bekannt sind: Möglichkeiten, die restliche Karten zu verteilen Anzahl lps´s :

Abschätzungen Berklekamp: die Anzahl legaler Spielfolgen beträgt für die meisten Verteilungen Levy: die Anzahl legaler Spielfolgen beträgt für die meisten Verteilungen erwarte Anzahl von lps´s in einem zufälligen Double Dummy Problem

Vergleich Anzahl von Suchraum-Positionen in verschiedenen Spielen: Backgammon: Dame: Bridge: Schach: Scrabble:

Spiele mit vollständiger Information Aufbau des Spielbaums Bewertung der Blätter Durchführung des Minimax-Algorithmus Abschneiden überflüssiger Teilbäume Bridge: unvollständige Information Vorgehen hier ?

Minimax

Häufigkeiten Verteilungen der Karten bei den Gegenspielern: gerade Anzahl Karten: Wahrscheinlichkeit ca. 50%, das Karten ungleichmässig verteilt sind ungerade Anzahl Karten: Wahrscheinlichkeit von ca. 65% das ein Gegner jeweils eine Karte mehr als sein Partner besitzt ab 9 Karten nicht mehr gegen Dame schneiden, ansonsten: Verteilung von beispielsweise Hand: A K B 9 Dummy: x x 76 % Erfolgschance ab 11 Karten nicht mehr gegen König schneiden, ansonsten: Verteilung von beispielsweise Hand: A D B 9 Dummy: x 52 % Erfolgschance

Mischprogramme Voraussetzungen an Software alle möglichen Bridge-Hände sollten generiert werden können alle Verteilungen sollten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit generiert werden können Unabhängigkeit neuer Verteilungen von vorangegangenen keine Vorhersage von Bridge-Händen möglich

Pseudo Zufallsgenerator generiert aus zufälligem Startwert mathematisch weitere Zufallszahlen Startwert unterliegt fester Größenordnung bei den Generatoren der meisten Mischprogramme 32 bits -> sie können maximal mögliche Serien von Werten generieren -> es können maximal verschiedene Hände generiert werden es existieren 53.644.737.765.488.729.839.237.440.000 verschiedene Hände Vielzahl Mischprogramme erfüllt erste Voraussetzung nicht

Big Deal Verwendung eines 160-bit Zufallswert Verwendung eines auf Sicherheit und Zuverlässigkeit getesteten 160-bit PRNG, RIPEMD-160 Kürzung der so entwickelten 160-bit Zufallszahl auf 96 Bits Konvertierung der 96-bit Nummer in einen Bridge Deal verschiedene Ausgabe Formate, BRI, DUP, PBN PBN Format ermöglicht eine Verknüpfung mit anderen Programmen, z.B. Double Dummy Solvern