Proseminar „Algorithmen auf Graphen“

Präsentation zum Thema: "Proseminar „Algorithmen auf Graphen“"—  Präsentation transkript:

1 Proseminar „Algorithmen auf Graphen“
Zufälliges Erzeugen von Graphen und Bayes-Netzen Björn Schapitz, CV04,

2 Gliederung Einleitung Geschichtliches Algorithmen / Beispiele
Anschauliches Vorgehen Zufällige Adjazenzmatrix Zufällige Kantenanordnung Rekursive Erzeugung One-Pass-Algorithm Zufällige Bayes-Netze Zusammenfassung

3 Gründe zur Beschäftigung mit zufälligen Graphen
Beweise führen (Nachweise der Existenz von Graphen mit bestimmten Eigenschaften) Modellierung von großen, unüberschaubaren Strukturen (z.B. Netzwerke, Internet) Einleitung

4 Arten zufälliger Graphen
echt zufällige Graphen Oft bestimmte Eigenschaften benötigt: Begrenzt maximale Cliquen Verhältnis Kanten/Knoten (Dichte) Zusammenhängend ?

5 Geschichtliches Paul Erdös
ungarischer Mathematiker * , † Entwickelte die „Probabilistische Methode“ zum Beweis seines Satzes: „Es gibt Graphen, die gleichzeitig beliebig hohe Taillenweite und beliebig hohe chromatische Zahl haben.“

6 Anschauliches Vorgehen
Leeren Graphen mit n Knoten erzeugen Wahrscheinlichkeitszahl p mit 0 ≤ p ≤ 1erzeugen Für jedes Tupel (n1,n2) mit (n1≠n2) entscheiden, ob Kante gesetzt wird Beispiel:

7 Zufällige Adjazenzmatrix
n Knoten: n x n Matrix erzeugen Mit Nullen füllen Wahrscheinlichkeitszahl p erzeugen: 0 ≤ p ≤ 1 Für jedes Element der oberen Dreiecksmatrix (ohne Hauptdiagonale): Zufallszahl x erzeugen: 0 ≤ x ≤ 1 Wenn x > p, Element auf 1 setzen

8 Beispiel 1 Zufallsgraph mit 5 Knoten 5 x 5 Matrix erzeugen n1 n2 n3 n4

9 Beispiel 1 Wahrscheinlichkeit p erzeugen p = 0.5
Für jedes Element oberhalb der Hauptdiagonalen Zufallszahl x erzeugen falls x > p, Matrixelement anpassen n1 n2 n3 n4 n5 1

10 Beispiel 1 Graph anhand Adjazenzmatrix aufbauen n1 n2 n3 n4 n5 1

11 Eigenschaften so erzeugter Graphen
Erzeugt echt zufällige Graphen Anzahl der Kanten über p beeinflussbar Nicht immer zusammenhängend Komplexität: O(n2)

12 Zufällige Kantenanordnung
Leeren Graphen mit n Knoten erzeugen Anzahl der Kanten e zwischen 0 und emax wählen 1 bis e mal: p und q von 1..n wählen, so dass p<q Kante von p nach q erzeugen

13 Beispiel 2 Leeren Graph mit 5 Knoten erzeugen emax = 10
(max. Anzahl Kanten ohne Loops = (n(n-1))/2 e zufällig aus 1 bis 10: e = 8

14 Beispiel 2 1 bis 8 mal p und q aus 1..n wählen (mit p<q):
p=2 q=3; p=4 q=5; p=1 q=2; p=1 q=3; p=1 q=4; p=3 q=5; p=1 q=5; p=2 q=5; Kante von np nach nq setzen

15 Eigenschaften so erzeugter Graphen
gezieltes Setzen von e = feste Kantenanzahl Durch geeignete Wahl von p und q kann die max. Anzahl der Eltern und Kinder beeinflusst werden Sind nicht immer zusammenhängend Laufzeit: abhängig von e Komplexität: bis zu O(n2)

16 Rekursive Erzeugung Basiert auf der Formel von R.W. Robinson,
Anzahl möglicher Graphen mit n Knoten und k Wurzeln ist an(k), mit Wiederholte rekursive Zerlegung in Wurzeln und Rest-Knoten Für alle möglichen Wurzel-Anzahlen s des Teilgraphen alle Kombinationen aufsummieren

17 Rekursive Erzeugung - Algorithmus
Umkehrung der Berechnungsformel zur Berechnung eines Graphen (benötigt Knotenmenge V und Wurzelanzahl k) Zufällig k Wurzeln wählen: K V, |K| = k Zufällig s aus 1..(n-k) wählen, dabei beachten: (s wird für die Erzeugung von S V\K benötigt)

18 Rekursive Erzeugung - Algorithmus
Wähle zufällig und unabhängig voneinander s nichtleere Teilmengen aus K  Eltern für jedes Element aus S Wähle zufällig und unabhängig voneinander (n-k-s) Teilmengen (dürfen leer sein) aus K  Eltern für Elemente aus V\K\S Benutze diesen Algorithmus rekursiv, um aus V \ K als Knotenmenge und s als Anzahl der Wurzeln einen azyklischen Graphen mit den Wurzel-Knoten S zu erzeugen Bei zufälliger Bestimmung von k muss P(k)=an(k)/an gelten.

19 Rekursive Erzeugung - Eigenschaften
Vorteile: Variation von k und s  hoher/breiter Graph Rekursive topologische Aufspaltung  einfacheres Ermitteln von Attribut-Abhängigkeiten Nachteile: Nicht immer zusammenhängend an(k) müssen für alle Kombinationen von k und n berechnet und zwischengespeichert werden (a1=1, a2=3, a3=25, … , a7= !!!) Komplexität: O(n2)

20 One-Pass-Algorithm Erzeugt in einem Schritt einen zusammenhängenden Graphen Anzahl Knoten n und Wurzeln r muss bekannt sein Maximaler Eingangsgrad m ist begrenzt

21 One-Pass-Algorithm Notwendige Bedingungen:
n ≥ 2  sinnvoller Graph muss mindestens 2 Knoten haben 1 ≤ r < n  mindestens eine Wurzel 1 ≤ m < n  zusammenhängender Graph

22 One-Pass-Algorithm Einschränkungen von n, r und m:
wenn r ≥ m, dann m(n-r) ≥ n-1 sonst m(n-r) + m(m-1)-r(r-1) ≥ n-1 2 Eingabe: Knoten n, Wurzeln r und maximaler Eingangsgrad m Ausgabe: zusammenhängender azyklischer gerichteter Graph Komplexität: O(mn)

23 One-Pass-Algorithm Maximale Kantenanzahl berechnen:
emax = m(n-r) falls r ≥ m emax = m(n-r)+½(m(m-1)-r(r-1)) sonst Kantenanzahl e zufällig aus Intervall [n, emax] bestimmen Für alle Wurzelknoten (v0…vr-1) Eingangsgrad d-(vi)=0 setzen Für restliche Knoten d-(vi) = [1,min(i,m)] setzen  dabei beachten, dass ∑i=r d-(vi)=e sein muss

24 One-Pass-Algorithm Für alle Knoten Anzahl zu verbindender Eltern p(vi)=d-(vi) Für i=r bis n-1: Kante von vj zu vi setzen (j  [r-1,i-1]) Für i=0 bis r-2 Kante von vi zu x setzen (x  {vj | p(vj)≥1}) Solange p(vi) ≥ 1 wiederhole: Kante von x zu vi setzen (x  {vj | 0 ≤ j ≤ i-1, (vj,vi) є E})

25 Beispiel 3 Graph mit 5 Knoten, 2 Wurzeln und maximalem Eingangsgrad 2
Bedingungen: n ≥ 2  erfüllt 1 ≤ r < n  erfüllt 1 ≤ m < n  erfüllt Einschränkung: da r ≥ m, muss m(n-r) ≥ n-1 gelten  2(5-2) ≥ 5-1  6 ≥ 4

26 Beispiel 3 1. emax = m(n-r) = 6 2. e=6 3. d-(n0)=0, d-(n1 )=0
4. restliche Knoten: n2=[1,min(2,2)]=2 n3=[1,min(3,2)]=2 n4=[1,min(4,2)]=2 5. p(n2)=2 p(n3)=2 p(n4)=2

27 Beispiel 3 6. i=2 bis 4 7. i=0 bis 0 nj  ni, j[1,1]  n1 n2
Kante von ni zu x, wobei x={nj | p(nj)≥1}  n0  n2

28 Beispiel 3 8. i=2 bis 4 - p(n2) ≥ 1 ? nein
- p(n3) ≥ 1 ? ja, x zu n3, x  {nj | 0 ≤ j ≤ 2, (nj,n3) nicht Element von E  nj=n0, n0n3 - p(n4) ≥ 1 ? ja, x zu n4, x  {nj | 0 ≤ j ≤ 3, (nj,n4) nicht Element von E  nj=n0, n0n4

29 Bayes-Netze Bayessches Netz: Gerichteter azyklischer Graph
Jeder Knoten besitzt Variable mit Angabe über ihre statistische Verteilung Meistens zusammenhängend

30 Erweitern zum Bayesschen-Netz
Jedem Knoten vi Variable Vi zuordnen Anzahl der möglichen Zustände für Vi bestimmen: Ni=|Vi| Für jeden Wurzelknoten: Ni Zufallswerte erzeugen und zu ∑=1 normieren Für alle anderen Knoten in topologischer Reihenfolge: für jede Belegung der Elternknoten Ni Zufallswerte erzeugen und zu ∑=1 normieren Bei Bedarf beliebig viele Einzelbelegungen des Netzes entsprechend den Verteilungen erzeugen Komplexität: abhängig von Elternknoten-Anzahl, ≈ O(mn)

31 Zusammenfassung Zufällige Graphen verwendet zur Beweisführung und zur Modellierung unübersichtlicher Strukturen Algorithmen: Zufällige Adjazenzmatrix: kaum Variationen möglich Zufällige Kantenzuordnung: Variationen bedingt über Parameter möglich Rekursive Erzeugung: Struktur variierbar, aber komplex und langsam One-Pass-Algorithm: zusammenhängend, wenige Kanten  gut für Bayessche-Netze Bayessche Netze: Erweiterungen obiger Algorithmen mit Zustandsvariablen für Knoten

32 Quellen Reinhard Diestel: „Graphentheorie“, 1996, Springer
Svante Janson, Tomasz Luczak, Andrzej Rucinski: „Random Graphs“, 2000, John Wiley & Sons Inc. Lothar Wenzel: „Wie klein ist doch die Welt“, in: Toolbox, Ausgabe 6/2002, S. 6 ff. Ansgar Voigt: „Mathe-Tricks in der Biologie“, in: RUBIN, 2003 Peter Eichelsbacher: „Die Steinsche Methode“, 2003