Preisbildung für Optionen 07.02.2006 Martin Beschnidt Hauptseminar Dynamik und Kontrolltheorie von Finanzmärkten

Optionen (Definitionen, Eigenschaften) Definition einer Option Eine Option ist ein Vertrag, der dem Besitzer das Recht gibt, eine bestimmte Menge eines Basiswertes zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Basiswerte: z.B. Aktien, Anleihen, Währungen, Rohstoffe, Indizes Bestandteile eines Optionsvertrages Basiswert (Basisgröße, Underlying) Optionsfrist (Laufzeit, maturity time) Basispreis (Ausübungspreis, striking price) Optionsverhältnis (Bezugsverhältnis) Optionsprämie

Optionen (Definitionen, Eigenschaften) Formen von Optionsscheinen Traditionelle Optionsscheine (d.h. in Verbindung mit Optionsanleihe) Naked Warrants Covered Warrants Vorteile von Optionen (Anwendung) Geringer Kapitaleinsatz Hebelwirkung (Leverage-Effekt) Begrenzung des Risikos Absicherung (Hedging) Handel Optionsscheine werden an der Wertpapierbörse oder OTC gehandelt

Preis bei Einlösung der Option Ausübungsmöglichkeit Amerikanische Option Europäische Option Positionen Käufer einer Option (Long-Position) Verkäufer einer Option (Short-Position) Preis bei Einlösung (Pay-Off) Grundlegendes zum Optionswert (innerer Wert und Zeitwert) Preisgrenzen aus Abitrage Call-Put-Parität

Preisgrenze aus Arbitrage (1)

Preisgrenze aus Arbitrage (2) Insgesamt: S  C  S - K e -rT

Call-Put-Parität  C - P = S - K e - rT

Hedge-Fonds Allgemeine Definition von Hedge Hedge-Fonds "Hedge“: Absicherung einer Investition vor Risiken wie gegenläufige, negative Entwicklungen (z.B. Börseneinbruch, negative Wechselkursveränderung, ungewollte Zinsänderung,...). Absicherung der Finanztransaktion mit Hilfe von derivativen Instrumenten (Optionen, Forwards, Futures,...), z.B. 1:1 Hedge Call Hedge-Fonds zielen auf eine absolute Rendite ab streben eine jederzeitige positive Rendite unabhängig vom jeweiligen Marktumfeld an Einsatz unterschiedlicher Anlagestrategien unter Verwendung verschiedenster Anlageinstrumente (auch Leerverkäufe) auch Einsatz von Fremdkapital  höhere Gewinn- und Verlustmöglichkeiten (Hebelwirkung, Leverage)

Risikoneutrale Investition Optionspreisbestimmung durch risikoneutrale Investition Kauf von Δh Aktien und Verkauf einer Kaufoption so, dass man eine sichere Zahlung am Periodenende erhält. Yu· h - Cu Y = Aktienpreis C = Wert der Kaufoption  = Y·h - C Yd· h - Cd Nun muss gelten: Wenn nun die Dauer der Periode infinitesimal wird, folgt:

Black-Scholes Gleichung Geschichte 1973 wurde die erste solide Lösung durch Black und Scholes vorgeschlagen, um einen rationalen und fairen Preis für Optionen zu finden. Myron Scholes und Fischer Black

Black-Scholes Gleichung Voraussetzungen für Black-Scholes der Aktienkurs folgt Ito-stochastischen Prozessen keine Transaktionskosten und Steuern europäische Option unbeschränkte Möglichkeit zur Geldanlage und Geldaufnahme zum konstanten Zins r beliebige Leerverkäufe keine Dividendenzahlung bis zum Ausübungszeitpunkt konstante Volatilität Arbitragefreiheit

Black-Scholes Gleichung Herleitung Der Preis der Aktie Y(t) kann als Ito-Prozess beschrieben werden. Speziell wird vorausgesetzt, dass der Aktienkurs einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt Ito‘s Lemma zeigt, dass jede Funktion, die von Y und t abhängt (auch die des Optionspreises C), die partielle Differentialgleichung löst Nun wird ein Portfolio aus h Aktien und einer verkauften Option gehalten. Der Wert des Portfolios ist dann

Black-Scholes Gleichung Die Änderung des Portfoliowertes im Intervall Δt ist Nun benutzen wir Ito´s Lemma und Daraus ergibt sich für die Wertänderung

Black-Scholes Gleichung Bei Abitragefreiheit gilt nun für die Portfoliowertänderung Vergleicht man nun die Ergebnisse für die Portfoliowertänderung, so erhält man Diese partielle Differentialgleichung wird Black-Scholes Gleichung genannt. Um nun C(Y,t) für den gewollten Optionentyp zu bestimmen, wählt man nun die Grenzbedingungen. Z.B. für einen Call wenn t=T

Black-Scholes Gleichung Analytische Lösung der Differentialgleichung Black und Scholes lösten ihre Gleichung wie folgt: wobei und Durch diese Substitution ist die Black-Scholes Gleichung formal gleich der in der Physik bekannten Gleichung

Black-Scholes Gleichung Daraus leiteten Black und Scholes ihre bekannte Formel für die Berechnung von Optionspreisen her: wobei N(x) die Verteilungsfunktion der Standard-Normal-Verteilung ist, und und

Andere Methoden der Preisbestimmung Diskontierter durchschnittlicher erwarteter Payoff In einer risikoneutralen Wirtschaft muss die erwartete Rendite gleich dem risikolosen Zins sein. Am Ausübungstag ist somit der Erwartungswert einer europäischen Call-Option der durchschnittliche erwartete Payoff. Zum Zeitpunkt t hat der Call dann also den Wert Weitere Methoden Stochastic Volatility (korrigiert Black-Scholes) Jump Model Displaced Diffusion Model Jump Diffusion Model

Amerikanische Optionen Vorzeitige Ausübung einer amerikanischen Option Call vorzeitige Ausübung i. A. nicht sinnvoll, da man nur den inneren Wert des Calls erhalten würde (nur Verkauf der Option sinnvoll) Ausnahmen im Zusammenhang mit Dividendenzahlungen Put vorzeitige Ausübung sinnvoll, falls der Aktienkurs nahe Null ist, da dann der maximal mögliche Profit erreicht ist Sonst auch sinnvoll im Zusammenhang mit Dividendenzahlungen Preis einer amerikanischen Option Preis einer amerikanischen Option  Preis einer europäischen Option Verschiedene Modelle zur Bestimmung Angepasste Black-Scholes Formel Classification – Monte Carlo Approach

Literatur J. C. Hull: Optionen, Futures and andere Derivate R. N. Mantegna, H. E. Stanley: Introduction to Econophysics K. Hellwig: Skript Wertpapieranalyse WS 1998/99 G. Löffler: Skript Kapitalmarkttheorie WS 2004/2005 G. Löffler: Skript Finanzierung WS 2004/2005 Ch. Gyaja: Preisbildung für Optionen HS SS 2005

Black-Scholes Gleichung Test der Formel