Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II 6. Sem. Vorlesung 4 4. Mai 2000 Voronoi-Diagramm

Zu Beginn eine interaktive Animation Quelle: Fern Universität Hagen

Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

Voronoi-Diagramm Gegeben ist eine Menge von n Punkten Das Voronoi-Diagramm zerlegt die Ebene in Gebiete gleicher nächster Nachbarn Die Voronoi-Region eines Punktes p enthält alle Punkte q, die näher an p als an jedem anderen Punkt p‘ liegen Das Voronoi-Diagramm wird gebildet aus den Voronoi-Regionen und ihren begrenzenden Voronoi- Knoten und –Kanten

Anwendungen Kollosionsproblem: welche 2 Punkte haben den kleinsten Abstand (Roboter, Flugzeuge,...) Das Filialenschließungsproblem... Postamts-Problem: wo liegt das nächste Postamt (Krankenhaus,...) Einzugs- und Einflußgebiete von Versorgungsstationen (und ihre Größe) Bewertung von Standorten Modellierung von „Nähe“ Delaunay-Triangulation Konvexe Hülle

Delaunay-Triangulation, konvexe Hülle Delaunay-Triangulation ist die Triangulation, bei der der kleinste Winkel maximal ist In gewiser Weise die best-mögliche Triangulation Konvexe Hülle einer Punktmenge M ist die kleinste konvexe Punktmenge, die alle Elemente aus M enthält Eine Punktmenge M ist konvex, wenn jede gerade Verbindung zweier Elemente p und q ganz in M liegt

Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen Vereinfachende Annahme: aus der gegebenen Punktmenge liegen keine 4 Elemente auf einem gemeinsamen Kreis Jeder Voronoi-Knoten hat genau drei Kanten Das Voronoi-Diagramm von n Punkten hat höchstens 2n – 4 Knoten und 3n – 6 Kanten (linear!) Die Knoten mit unbeschränkten Regionen bilden die konvexe Hülle Der „Duale Graph“, bei dem benachbarte Punkte miteinander verbunden werden, bildet eine Delaunay-Triangulation

Voronoi Regionen (Polygone) beschränkte Voronoi Regionen unbeschränkte Voronoi Regionen Die Konvexe Hülle ver- bindet die unbeschränkten Voronoi Regionen Jede Voroni-Region ist konvex!

Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ 1.Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten 2.Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P 1 und P 2 3.Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P1 und P2 4.Merge: Verknüpfe die in 3 gebildeten Diagramme 5.Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist, dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal O(n * log n) wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen,

Was ist der schwierigste Teilschritt? Zerlegung der Punktmenge in gleich große Teilmengen –Sortieren nach y-Koordinate –Bilden des Medians –Einfach Offenbar der letzte Schritt: „Merge“: Konstruktion des trennenden Kantenzuges Einfachster Fall von Merge: jede der beiden Teilmengen enthält genau einen Punkt der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte beider Punkte

P1P1 P2P2 Aufteilung der Menge P in P 1 und P 2 P

Voronoi-Diagramm von P 1

Voronoi-Diagramm von P 2