Übung zur Vorlesung Theorien Psychometrischer Tests I Ulf Kröhne Norman Rose Session 2

Organisatorisches Aktualisierte Termine: Dienstag: 18.15 – 19.45 Uhr Übung am 31.11. verlegt auf 30.11.06 (9.15-10.45) Aufgaben zu den Übungen im Internet:

Agenda Lösung der Aufgaben Fragen zur Vorlesung VIEL ÜBEN: Eigenschaften von True-Score und Residuum Implizierte Erwartungswertstruktur Vorstellen von Mplus Neue Aufgaben

Lösungen zu den Aufgaben vom 20.10.06 1. Leiten Sie die vom Modell implizierte Varianz-Kovarianzmatrix für ein Modell paralleler Tests mit 4 Indikatoren her. 2. Bilden Sie die Potenzmenge zu A = {p, q, r}. 3. Zeigen Sie, dass Cov(i, j) = Cov(Yi, j) gilt. 4. Zeigen Sie, dass Kor(Yi , i)2 = Rel(Yi) gilt.

Aufgabe 1 e1 Y1 11 e2 Y2 21 h 31 e3 Y3 41 e4 Y4 Leiten Sie die vom Modell implizierte Varianz-Kovarianz-matrix für ein Modell paralleler Tests mit 4 Indikatoren her. e1 Y1 11 e2 Y2 21 h 31 e3 Y3 41 e4 Y4 Für ein Modell paralleler Tests gilt: Var(1 ) = Var(2 ) = Var(1 ) = Var(4) 11 = 21 = 31 = 41 = 1

Aufgabe 1 Y1 =  11  + 1 Y2 =  21  + 2 Y3 =  31  + 3 Schritt 1: Regressionsgleichungen Y1 =  11  + 1 Y2 =  21  + 2 Y3 =  31  + 3 Y4 =  41  + 4 Richtig:  wegen 11 = 21 = 31 = 41 = 1 Y1 =  11  + 1 Y1 =   + 1 Falsch:  aus Var(1 ) = Var(2 ) = Var(1 ) = Var(4) folgt nicht: Y1 =  11  + 1 Y1 =   + 

Aufgabe 1 Var(Y1) = Var(11  + 1) Schritt 2: Varianzen Var(Y1) = Var(11  + 1) = 112 Var() + Var(1) + 211Cov(, 1) = Var() + Var(1) = Var() + Var()  wegen 11 = 21 = 31 = 41 = 1 und Cov(,1) = 0  wegen Var(1 ) = Var(2 ) = Var(1 ) = Var(4) = Var() ! Var(Y2) = Var() + Var() Var(Y3) = Var() + Var() Var(Y4) = Var() + Var()

Aufgabe 1 Cov(Y1,Y2) = Cov(11  + 1, 21  + 2) Schritt 3: Kovarianzen Cov(Y1,Y2) = Cov(11  + 1, 21  + 2) = 11 21Cov(,) + 11 Cov(, 2) + 21 Cov(1, ) + Cov(1, 2) Annahme  Cov(1, 2) = 0 (nicht im Pfaddiagramm) Definition  Cov(, 1) = Cov(, 2) = 0 Definition  11 = 21 = 1 = Var() … Cov(Y1,Y3) = Cov(Y1,Y4) = Cov(Y2,Y3) = Cov(Y2,Y4) = Cov(Y3,Y4) = Var()

Aufgabe 1 Var() := 2 und Var() :=  2 2 + 2 2 Zusammenfassung zu implizierter Varianzkovarianzmatrix: Var() := 2 und Var() :=  2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 2 + 2 2 2 2 2 + 2

Aufgabe 2 Bilden Sie die Potenzmenge zu A = {p, q, r}. (Potenzmenge bezeichnet die Mengen aller Teilmengen) (A) = ({p, q, r}) = {, {p}, {q}, {r}, {p,q}, {p,r}, {q,r}, {p,q,r} }

Aufgabe 3 Zeigen Sie, dass Cov(i, j) = Cov(Yi, j) gilt. Yi := i + i Cov(Yi ,j ) = Cov(i + i , j ) = Cov(i, j) + Cov(i , j ) Definition  Cov(1, j) = 0 = Cov(i, j)

Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass Kor(Yi , i)2 = Rel(Yi) gilt. Rel(Yi ) := Var(i ) / Var(Yi ) Yi := i + i Kor(X,Y) = Cov(X,Y) / (Std(X)Std(Y)) Kor(X,Y)2 = Cov(X,Y)2 / (Var(X) Var(Y)) Kor(Yi,I )2 = Cov(i + i , i )2 / (Var(Yi) Var(i)) = Var(i )2 / (Var(Yi) Var(i)) = Var(i ) / Var(Yi ) = Rel(Yi) da Cov(i + i , i )2 = (Cov(i, i) + Cov(i , i))2 = Var(i)2

Fragen zur Vorlesung Annahmen und Modelle der KTT: a1, a2, a3, b und c True-Score vs. True-Score Variable: Wert einer Person i: E(Yi|U=u) True-Score Variable: i := E(Yi|U) Implizierte Kovarianzstruktur und deren Prüfung Parametrisierung: i = ij0 + ij1j ij0, ij1  IR, ij1>0 …

Übungsblatt Teil „A“ (Nachtrag zur Vorlesung vom 20.10.06)

Eigenschaften der True-Scores Variable Varianzzerlegung: Var(Yi) = ____+ 2Cov(i, i) = Var(i) + Var(i) Reliabilität als Determinationskoeffizient: Rel(Yi) = R2Yi|U = ______________ Übungszettel Teil „A“

Eigenschaften des Residuums Kovarianz von Residuum und True-Score Variable: Cov(i,j) = ___ = 0 Erwarungswert des Residuums: E(i) = ___ = 0 Erwartungswert des Residuums gegeben die Person: E(i|U) = ___ = 0 Bedingter Erwartungswert des Residuums gegeben eine Funktion von U: E(i|f(U)) = ___ = 0 Übungszettel Teil „A“

Implizierte Kovarianzmatrix Prinzip: 1. Schritt: Pfaddiagramm in Regressions-gleichungen zerlegen 2. Schritt: Varianz der Regressions- gleichung bestimmen 3. Schritt: Kovarianzen der Regressions- gleichungen bestimmen Häufig: Namen der Parameter Programmen zur Analyse (LISREL oder Mplus) einsetzen Als Matrix aufschreiben.

Implizierte Erwarungswertstruktur Prinzip: 1. Schritt: Pfaddiagramm in Regressions-gleichungen zerlegen 2. Schritt: Erwartungswerte der Regressions-gleichungen betrachten Bespiel: Y1 = 11  + 1 e1 Y1 1 E(Y1) = E(11  + 1) = 11 E() + E(1) = E() e2 Y2 1 h 1 e3 Y3

Übungsblatt Teil „B“ (Bitte üben Sie die Technik, auch wenn Sie das Modell  - kongenerischer Variablen noch nicht kennen.)

Implizierte Kovarianzstruktur Var(Y1) = Var(10 + 11· + 1) = Var(11· + 1) = 112 Var() + Var(1) + 2 11Cov(, 1) = 2 + 12 Var(Y2) = Var(20 + 21· + 2) = 212 Var() + Var(2) = 212 2 + 22 … Cov(Y1,Y2) = Cov(10 + 11· + 1, 20 + 21· + 2) = Cov(11· + 1, 21· + 2) = 11 21 Cov(, ) + 11 Cov(, 2) + 21 Cov(1,) + Cov(1, 2) = 21 Var() Cov(Y1, Y3) = 21 31 Var() Cov(Y2, Y3) = 21 31 Var() + Cov(2, 3) Übungszettel Teil „B“

Implizierte Erwartungswertstruktur E(Y1) = E(10 + 11· + 1) = E(10) + E(11·) + E(1) = 10 E(Y2) = E(20 + 21· + 2) = E(20) + E(21·) + E(2) = 20 E(Y3) = E(30 + 31· + 3) = E(30) + E(31·) + E(3) = 30 Übungszettel Teil „B“

Lesen implizierter Strukturen Modell paralleler Variable: Lesen der implizierten Variazn-Kovarianz-Matrix Modell paralleler Tests: Var() = Var(Yi) – Cov(Yi,Yj) Var(Yi) = Var(Yj) = 2 + 2 Cov(Yi, Yj) = Var() … Lesen der implizierten Erwarungswertstruktur Modell paralleler Tests E(Yi) =  Übungszettel Teil „C“

Modellgeltung Beispiel: Die Rel(Yi) ist für das Modell paralleler Tests definiert als: Cor(Yi, Yj). Welche Korrelationen zieht man zu Rate, um die Reliabilität zu bestimmen (bei mehr als zwei Indikatoren)? Cor(Y1, Y2)? Cor(Y1,Y3), Cor(Y2,Y3)? Modellbegriff: Modell besteht aus Annahmen (vgl. a1, a2, a3, b und c) Diese Annahmen können empirisch natürlich falsch sein Wenn es richtig ist, dann sind alle Korrelationen (in der Population) gleich! Zufällige Abweichungen in Stichproben können auftreten.

Beispieldurchlauf Mplus Eine Analyse zum „Tuchfühlen“ Temporären Ordner erstellen Syntax und Daten herunterladen Mplus starten Syntaxdatei öffnen „RUN“ drücken Output sehen ;-)

Beispieldurchlauf „Mplus“ Modell: Gespeichert in einem Textfile: session02_beispielmodell.inp

Beispieldurchlauf „Mplus“ Daten: Empirische Varianz-Kovarianz-Matrix Gespeichert in einem Textfile: session02_stateanxiety.cov

Aufgaben (Seite 1) 1. Wie können Sie ein Modell essentiell -äquivalenter Tests prüfen, wenn die Mittelwerte der Testwertvariablen gegeben sind? 2. Zeigen Sie dass für die Summe von 3 Testwert-variablen Y1, Y2 und Y3 paralleler Tests u.a. gilt: Rel(S) = 3Rel(Y1) 1+2Rel(Y1)

Aufgaben (Seite 2) 3. Leiten Sie die vom Modell implizierte Varianz-Kovarianzmatrix für ein Modell -kongenerischer Tests mit 4 Indikatoren her. 4. Ermitteln Sie die implizierte Erwartungswert-struktur für das Modell aus Aufgabe 1. 5. Zeigen Sie, daß für das Modell essentiell  - äquivalenter Tests gilt: Cov(Yi,Yj)=Var()

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