Beugung an Streuzentren Berechnung der Phasen nach dem Huygensschen Prinzip

Inhalt Kohärente Streuung an N Streuzentren angeordnet in einer Dimension (Kette) drei Dimensionen (Raumgitter)

Streuung an mehreren punktförmigen Streuzentren

Summation der von den Streuzentren ausgehenden Amplituden

Wahl des Koordinatensystems Streuamplitude, Formulierung mit Orts- und Streuvektor Als kovarianter Basisvektor a1 wird der Abstandsvektor der Streuzentren gewählt Streuvektor im reziproken System Streuamplitude, Formulierung mit direkten und reziproken Koordinaten

Das Skalarprodukt im Exponenten sieht immer aus „wie orthonormiert“ Vorteile der nicht orthonormierten Koordinatensystems bei ko- und kontravarianten Basen Das Skalarprodukt im Exponenten sieht immer aus „wie orthonormiert“ Die Koordinaten sind dimensionslose Zahlen Die Bedingung für maximale Streuamplitude, ganzzahliges h1, ist unmittelbar zu erkennen Aber: Verbindung zum Experiment nicht unmittelbar ersichtlich, denn die Koordinate h1 ist eine abstrakte Zahl, keine Messgröße

Verbindung zum Experiment: Die Braggsche Gleichung Streudreieck, k0, k1 sind Messgrößen Braggsche Gleichung Streuvektor, Aufstellung in reziproker Basis Betrag des Streuvektors In triklinen Systemen nicht trivial zu berechnen

Eigenschaften der Streuamplitude Bei ganzzahligen reziproken Koordinaten Verstärkung der Streuamplitude um den Faktor N, der Anzahl der Streuzentren Sonst: praktisch verschwindende Amplitude Genaue Rechnung: Geometrische Reihe

Berechnung der Streuamplitude für beliebige Werte von h Geometrische Reihe, Ausklammern von und Nutzung der Eulerschen Beziehung Der Phasenfaktor ist ohne Bedeutung, weil die Intensität das Quadrat des Betrages der Amplitude ist

Verlauf der Streuamplitude für 5 Streuzentren

Beispiel: Beugung an einer eindimensionalen Struktur Verkleinerung bis zur „Fraunhofer Beugung“

Die Braggsche Gleichung Streuvektor Zusammenhang zwischen dem Streuwinkel und dem Streuvektor: „Braggsche Gleichung“

Darstellung im reziproken Raum: Ewald Konstruktion h k1 k0 Ursprung der reziproken Koordinaten Ebene mit h1=1

Darstellung im reziproken Raum: Ewald Konstruktion h k1 k0 Ursprung der reziproken Koordinaten Ebene mit h1=1 Es gibt keine realen Objekte im reziproken Raum

Berechnung der Beugungswinkel Braggsche Gleichung, daraus folgt: Bedingung für die Koeffizienten h2 h3 bei gegebenem h1 a1* =1/a h1 = n für maximale Intensität Maxima unter dem Beugungswinkel θ liegen auf dem Umfang einer Kreisscheibe, die aus der Ebene durch n∙ a* senkrecht zu a* von einer Kugel mit Radius 1/ λ ausgeschnitten wird.

Streuung an dreidimensional periodisch angeordneten Streuzentren

Berechnung der Streuamplitude Streuamplitude, Summation über alle Streuer Streuvektor im reziproken System aufgestellt, Basis Skalarprodukt Die Amplitude ist das Produkt über drei geometrische Reihen Bedingung für maximalen Betrag der Intensität in periodischen Gittern: Streuvektor mit ganzzahligen Komponenten Huygenssches Prinzip

Gitter mit mehren Streuzentren in einer Zelle Gitter mit einem Teilchen pro Elementarzelle Elementarzelle mit zwei Teilchen pro Elementarzelle

Die Summation über die Teilwellen nach Huygens ist eine lineare Operation: Zwei Teilchen pro Zelle, z. B., verdoppeln die Summen Huygenssches Prinzip Streuamplitude, Summation über alle Streuer Ortsvektor zu jedem Streuer Streuvektor mit Basis Basis: Translationsvektoren Basis: reziprok zu den Translationsvektoren Im Gitter: Intensität nur für ganzzahlige h1 h2h3 Strukturfaktor für n identische Streuzentren in einer Elementarzelle

Der Strukturfaktor Strukturfaktor für n identische Streuzentren in einer Elementarzelle (ganzzahlige h, k, l ) Ortsvektor zum Streuer innerhalb der Zelle Skalarprodukt zwischen Orts- und Streuvektor Strukturfaktor, nur gültig für Streuvektoren mit ganzzahligen Koeffizienten h, k, l Basis: Translationsvektoren Invariantes Produkt aus direkten u. reziproken Koordinaten

Der Atomformfaktor Strukturfaktor Der Atomformfaktor berücksichtigt die individuelle Streukraft für jedes Streuzentrum der Sorte

Übung Berechnung des Strukturfaktors für das Diamant-Gitter (a=0,3567 nm) Interpretation der Information der Internationalen Tabellen für Kristallographie

Zusammenfassung Kohärente Strahlung ist die Voraussetzung aller „Beugungsbilder“ Addition der Amplituden nach dem Huygensschen Prinzip gilt für zwei wie für N beliebig angeordnete Streuzentren Im periodischen Gitter gibt es ein bevorzugtes Koordinatensystem, Basisvektoren sind die kürzesten Translationsvektoren Formulierung des Streuvektors in der dazu „reziproken Basis“ zeichnet Gitterpunkte mit ganzzahligen Indizes aus: Amplitudenverstärkung um den Faktor der Elementarzellen Sonst: praktisch verschwindende Intensität Verbindung mit dem Experiment bringt das Streudreieck, daraus folgt die Braggsche Gleichung

finis