Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes Beschreibung einer Ebene im Punktgitter: Schnittpunkte in Einheiten der Basisvektoren m1, m2, m3 (Bsp: 3, 1, 2) bilde Kehrwerte: 1/m1, 1/m2, 1/m3 (Bsp.: 1/3, 1/1,1/2) Multiplikation mit kleinster ganzen Zahl p, so dass teilerfremde ganze Zahlen entstehen h = p/m1, k = p/m2, l = p/m3 (Bsp.: 6/3, 6/1, 6/2) (hkl) Millersche Indizes, beschreiben Lage dieser und aller dazu äquivalenter Ebenen (Ebenenschar) Normalenvektor n = [hkl], steht senkrecht auf Ebenenschar 3.) Strukturbestimmung – Grundlagen der Beugungstheorie Lokale Verfahren (STM, AFM, Elektronenmikroskopie,…) Beugungsverfahren (nutzen Periodizität) 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 24

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Beugungsverfahren Strahlung  = (E) Energie E de Broglie Photonen  = hc/E 1keV – 100 keV 10 – 0.1 Å Neutronen  = h/(2mE)1/2 0.01 – 1 eV 3 – 0.3 Å Elektronen 10 eV – 1 keV 4 – 0.4 Å Kriterien für Wahl der Quelle: geeignete Wellenlänge, insbesondere  < Gitterparameter! Wechselwirkung mit der Materie (z.B. stark für Elektronen, schwach für Photonen) 3.1) Beugungstheorie Beobachter P B Quelle Probe Q ebene Wellen 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 25

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Annahmen: Eben einfallende Welle Kohärente Streuung (einfallende Welle rege Materie an allen Punkten P zur Emission von Kugelwellen an; es besteht feste Phasenbeziehung zwischen Primärstrahlung und angeregten Kugelwellen 3) Einfachstreuung Amplitude der einfallenden Strahlung am Ort P zur Zeit t mit () Streubeitrag der Kugelwelle des Ortes r zur Amplitude bei B () Streudichte, enthält gesuchte Information über Gitterstruktur Amplitude der auslaufenden Kugelwelle am Ort B; A  Abstand-1 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 26

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Berücksichtigt man, dass und () mit () und () ergibt sich: Gesamte Streuamplitude durch Integration über Probe: Messgröße: Streuintensität I elastische Streuung k0 = k K k0 k mit dem „Streuvektor“ 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 27

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Beachte: Streuintensität  Fourier-Transformierten der Streudichte bzgl. Streuvektor2 vgl. Optik: I   Fourier-Transformierten des beugenden Objektes2 3.2) Periodische Strukturen und reziprokes Gitter Wenn (r) periodisch, kann Funktion in Fourier-Reihe entwickelt werden für gerade Funktion in 1D: Atompositionen Periodizität: 1 = a = 2/k1 (x) x a 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 28

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Erweiterung auf periodische Strukturen in 3D G muß so gewählt werden, dass gilt (r + rn) = (r) mit beliebiger Gittervektor Forderung ist äquivalent zu: mit ganzer Zahl m und für alle n1, n2, n3 denn damit gilt: Zerlege G in eine (zunächst noch nicht festgelegte) Basis: g1, g2, g3: linear unabhängig mit für Spezialfall n2 = n3 = 0 findet man: und 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 29

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Aus analogen Betrachtungen der anderen Spezialfälle ergibt sich: = 2, i = j = 0, i j Bemerkungen Basisvektoren gi spannen das reziproke Gitter auf Gitterpunkte G = hg1 + kg2 +lg3 werden durch Zahlentripel (hkl) festgelegt dabei sind (hkl) die Millerschen Indizes 3) Konstruktionsvorschrift für die gi‘s : g1 steht senkrecht auf der von a2 und a3 aufgespannten Ebene g2, g3 entsprechend mit |g1a1| = |g1||a1|cos(g1, a1) = 2  |g1| = 2 |g1|-1|a1|-1cos(g1, a1)-1 Bedingungen werden erfüllt durch: 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 30

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Es gelten folgende Aussagen: Der reziproke Gittervektor steht senkrecht auf der mit (hkl) bezeichneten Netzebenenschar 2) dhkl Ghkl (hkl) 3.3) Die Streubedingung bei periodischen Strukturen mit und ()  Erinnerung: Integral in () ≡ Fourier-Darstellung der -Funktion, d.h. = endlich, nur für 0, sonst Beugungsreflexe nur dann, wenn gilt: („Laue-Bedingung“) 20.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 31

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 3.4) Laue-Bedingung und Ewald-Kugel 2D-Projektion des reziproken Gitters (Erinnerung: jeder Punkt repräsentiert eine Netzebenenschar) Konstruktion der Ewald-Kugel (10) (11) (00) (21) (01) (02) (22) (12) (20) zeichne k0 mit Spitze auf (000) weisend in rez. Gitter zeichne Kreis mit Radius |k|=|k0| um Ursprung von k0 an Stellen, wo Kreis Punkte des rez. Gitters trifft, gilt K = k - k0 = G(hkl)  es entsteht Beugungsreflex I(hkl) (im Beispiel I(12)) k K k0 bei gegebener fester Wellenlänge des einfallenden Lichtes und gegebener Orientierung des Kristalls (und damit auch des rez. Gitters) wird i.Allg. die Beugungsbedingung nicht erfüllt sein  keine Beugungsreflexe 20.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 32

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Techniken zur Erfüllung der Beugungsbedingung Laue-Methode verwende kontinuierliches Spektrum k0  k  k1, d.h. 2/1  2/  2/0 (10) (11) (00) (21) (01) (02) (22) (12) (20) alle rez. Gitterpunkte im schraffierten Bereich erfüllen Laue-Bdeingung k0 k1 2) Drehkristall-Methode Kristall (und rez. Gitter) rotiert langsam k0 3) Pulver-Verfahren (Debye-Scherrer-Verfahren Pulverprobe k0 Pulverprobe, feinkristallin mit statistisch verteilter Orientierung der Kristallite 20.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 33

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 3.5) Braggsche Deutung der Beugungsbedingung Umformung ergibt: k0 k  dhkl ½ Gangunterschied: dhklsin schwach reflektierende Netzebenen (hkl) Intensität der gebeugten Strahlung nur in Richtungen, wo konstruktive Interferenz auftritt, d.h. ein Gangunterschied vorliegt von: n: Ordnung der Reflexe d.h., Wellen verhalten sich so, als würden sie an den Netzebenen reflektiert 20.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 34

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 3.6) Die Brillouinschen Zonen (BZ) 1. BZ hat fundamentale Bedeutung für Beschreibung der elektronischen Eigenschaften elementare Umformung von  () alle Vektoren k0, die () erfüllen, liegen auf den Mittelsenkrechten der rez. Gittervektoren ausgehend vom Ursprung (000) (01) Betrachte 2D-Projektion des rez. Raumes (11) g2 eingeschlossenes Volumen: Wigner-Seitz-Zelle im reziproken Raum ≡ 1. Brillouin-Zone (10) g1 (10) (00) (11) (01) Laue-Bedingung ist erfüllt für alle k Vektoren, die auf dem Rand der 1. BZ enden 20.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 35

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