Welche Funktion beschreibt die Messwerte? Elektrische Leistung eines Windrads als Funktion der Windgeschwindigkeit Welche Funktion beschreibt die Messwerte?

Elektrische Leistung des Windrads Rosskopf 1 bei Freiburg Wind-geschwindigkeit m/s Drehzahl 1/Min Momentan-Leistung kW 3,3 11,2 45 4,3 12,3 105 12,1 100 5,3 13,4 175 Welche Potenz der Windgeschwindigkeit beschreibt die Leistung als Funktion der Windgeschwindigkeit am besten?

Messwerte kW m/s

Lösungsweg Zur Lösung testet man die in Frage kommenden Potenzen y = m·xp +a auf Übereinstimmung mit den Messwerten (der Leistung). x steht für die Windgeschwindigkeit. Die Konstante a ist 0, weil die Kurven durch den Ursprung verlaufen und im Ursprung ein lokales Minimum zeigen Den Koeffizienten m bestimmt man für jeden Ansatz mit linearer Regression (Excel Funktion RGP) zwischen yc = m·xp und den Messwerten yo, xp = xp Ansatz: p = 1,2,3,4 Der Ansatz mit bester Übereinstimmung zeigt die kleinste Summe der Abweichungsquadrate M = Σ(yc-yo)2

Vorbereitung zur linearen Regression Wind m/s Leistung kW x^2=Wind^2 x^3=Wind^3 x^4=Wind^4 0,001 0,000001 0,000000001 1E-12 3,3 45 10,89 35,937 118,5921 4,3 105 18,49 79,507 341,8801 100 5,3 175 28,09 148,877 789,0481 Berechnung der Potenzen der Windgeschwindigkeit für p=1,2,3,4

Lineare Regression für lineares Modell y = m · x + a   m = 25,7701419 3,26043271 #NV 0,81595564 28,4163126 17,7338902 4 14319,8827 3229,9473

Lineare Regression für Modell y = m · x3 y = m · x3 + a   m = 1,21804252 a=0 σm = 0,02860963 σa #NV r2 = 0,99326556 5,435720613 589,962 4 17431,6418 118,1882343

Test auf Übereinstimmung Windgeschw. [m/s] Messwerte [kW] Linear [kW] Abwei-chungs-Quadrat (yo-yc)^2 3. Potenz [kW] Abwei-chungs-Quadrat (yo-yc)^2 x yo yc=25,7*x yc=1,2*x3 0,001 0,025 0,0006 1,2E-09 9,9E-07 3,3 45 85,0 1603,31 43,7 1,5 4,3 105 110,8 33,774 96,842 66,5 100 116,89 96,8 9,96 5,3 175 136,5 1475,9 181,3 40,1 3229,96 118,1 Das Maß für die Übereinstimmung ist die Summe der Abweichungsquadrate („Chi-Quadrat“)

Funktionen der Form y = m*·xp

Summe der Abweichungsquadrate für alle Modelle yc=m·x  yc= m·x2 yc= m·x3 yc = m·x4 Summe der Abweichungsquadrate 3229 532 118 1304

Anleitung zum Eintrag einer Matrixformel (z. B. {RGP( Anleitung zum Eintrag einer Matrixformel (z. B. {RGP(..)}) in einer Excel Anwendung: 1. Von der Ecke für die Formel (links oben) ausgehend die von der Formel-Matrix benötigten Zellen vorher markieren 2. Dann bleibt großer Rahmen, helles Feld für Formel. Mit klick auf fx Formel eintragen 3. Ein Wert erscheint in hellen Feld, Rest bleibt umrahmt. 4. F2 drücken, dann strg Umschalt Enter - die restlichen Matrix Felder füllen sich

finis

Zusammenfassung Die elektrische Leistung einer Windmühle steigt mit der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit Lösungsweg: „Versuch und Irrtum“, (Trial and Error) Annahme: y = m·xp für Potenzen p =1,2,3,4 Bestimmung von m mit linearer Regression Rechenblatt: Uebung_4_061219.xls Der Ansatz mit bester Übereinstimmung zeigt die kleinste Summe der Abweichungsquadrate M = Σ(yc-yo)2