3.2. Dynamische Verfahren Dynamische Verfahren sind der Versuch, genannte Mängel der statistischen Verfahren zum Teil mit finanzmathematischen Methoden zu kompensieren. Durchschnittliche Werte eine Periode (Ein- und Auszahlungen), repräsentativ für eine gesamte Nutzungsdauer, werden durch exakte Ein- und Auszahlungsreihen ersetzt. Dabei werden alle Perioden während der Nutzungsdauer betrachtet. Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten werden durch Auf- bzw. Abzinsen vergleichbar gemacht (Zinseszinsrechnung). z.B. Zahlung zum Zeitpunkt t0 = x Zahlung in z.B. fünf Jahren t1 = y Wenn man das auf t0 berechnet, ist x < y !  Abzinsungsfaktor Aufgabe: Was sind heute 5.000 € wert, wenn Sie den Betrag in fünf Jahren hätten? Beziehen Sie den Betrag auf‘s heute und berechnen Sie den Differenzbetrag!

3.2. Dynamische Verfahren Abzinsungsfaktor: = 1 /(1+i)n i = Zinssatz in % = 5 % n = Jahre = 5

3.2. Dynamische Verfahren Abzinsungsfaktor: = 1 /(1+i)n i = Zinssatz in % = 5 % n = Jahre = 5 = 0,7835 * 5.000 € = 3.917 € (1.264 € Differenz) D.h., 5.000 € im Jahr 2014 haben heute einen Wert von 3.917 € bzw. 3.917 € heute sind in fünf Jahren 5.000 € wert. Aufzinsungsfaktor: = (1+i)n Ein Investition von 2.000 € ist aufzuzinsen, (6 %, 4 Jahre)

3.2. Dynamische Verfahren Abzinsungsfaktor: = 1 /(1+i)n i = Zinssatz in % = 5 % n = Jahre = 5 Aufzinsungsfaktor: = (1+i)n Ein Investition von 2.000 € ist aufzuzinsen, (6 %, 4 Jahre)

3.2. Dynamische Verfahren Abzinsungsfaktor: = 1 /(1+i)n i = Zinssatz on % = 5 % n = Jahre = 5 = 0,7835 * 5.000 € = 3.736 € (1.264 € Differenz) D.h., 5.000 € im Jahr 2011 haben heute einen Wert von 3.736 € bzw. 3.736 € heute sind in fünf Jahren 5.000 € wert. Aufzinsungsfaktor: = (1+i)n Ein Investition von 2.000 € ist aufzuzinsen, (6 %, 4 Jahre) = (1+0,06)^4 * 2.000 € = 2.524 € In 2013 hat sich der Wert der Investition um ein Viertel erhöht.

3.2. Dynamische Verfahren Beispiel: Jemand legt 100.000 über 12 Jahre auf einem Sparbuch zu 4% Zinsen p.a. an. Wieviel liegt nach 12 Jahren auf dem Sparbuch?

3.2. Dynamische Verfahren Beispiel: Jemand legt 100.000 über 12 Jahre auf einem Sparbuch zu 4% Zinsen p.a. an. Wieviel liegt nach 12 Jahren auf dem Sparbuch? Ende des ersten Jahres befinden sich 100.000 + 4000 = 104.000 auf dem Sparbuch. Im zweiten Jahr werden, unter der Voraussetzung, dass die Zinsen nicht abgehoben werden, nicht 100.000 sondern 104.000 verzinst. Die auf die 4.000 (=Zinsen des ersten Jahres) entfallenden Zinsen des zweiten Jahres werden allgemein als sog. Zinseszinsen bezeichnet. 104.000 + 4.000 + 160 = 108.160 Im dritten Jahr bekommt der Sparer neben den Zinsen von 4.000, Zinseszinsen von den Zinsen vom ersten Jahr (= 160), Zinseszinsen von den Zinsen vom zweiten Jahr und Zinseszinsen von den Zinseszinsen vom zweiten Jahr.

3.2. Dynamische Verfahren Ein mit Auf- oder Abzinsung gewichteter Wert einer Zahlung wird Barwert dieser Zahlung genannt. Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten werden durch den Bezug auf einen gemeinsamen Zeitpunkt finanzmathematisch vergleichbar gemacht (siehe Beiblatt oder auch VDI 2076 Blatt 1). Im Rahmen der Investitionsrechnung ist auch der Gegenwartswert einer Reihe von Zahlungen, die über mehrere Perioden verteilt in jeweils gleicher Höhe anfallen, zu ermitteln. -> Rentenbarwertfaktor = ((1+i)n –1)/((1+i)n * i) Gegeben: 2.000 € jährliche Einzahlung in einen Rentenfonds 5 % Verzinsung Laufzeit 30 Jahre Gesucht: Gegenwartswert Wert nach 30 Jahren

3.2. Dynamische Verfahren Ein mit Auf- oder Abzinsung gewichteter Wert einer Zahlung wird Barwert dieser Zahlung genannt. Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten werden durch den Bezug auf einen gemeinsamen Zeitpunkt finanzmathematisch vergleichbar gemacht (siehe Beiblatt oder auch VDI 2076 Blatt 1). Im Rahmen der Investitionsrechnung ist auch der Gegenwartswert einer Reihe von Zahlungen, die über mehrere Perioden verteilt in jeweils gleicher Höhe anfallen, zu ermitteln. -> Rentenbarwertfaktor = ((1+i)n –1)/((1+i)n * i) Gegeben: 2.000 € jährliche Einzahlung in einen Rentenfonds 5 % Verzinsung Laufzeit 30 Jahre Gesucht: Gegenwartswert Wert nach 30 Jahren = 15,37 * 2.000 € = 30.744 € (Gegenwartswert) = 30.744 € * 4,32 = 132.814 € (Wert in 30 Jahren) Der Rentenbarwertfaktor dient dazu, konstante Zahlungen (z.B. Renten) auf den Anfangszeitpunkt abzuzinsen. Man erhält dadurch den Rentenbarwert.

3.2. Dynamische Verfahren Wird eine zum Zeitpunkt t0 zu gleichen Teilen über eine Anzahl von Jahren (erwartete Nutzungsdauer) einschließlich Zinseszins verteilt, rechnet man mit dem -> Annuitätenfaktor: = ((1+i)n * i)/ ((1+i)n –1) (gleiches Beispiel s.o.) Gegeben: Barwert: 30.744 € Zinssatz: 5 % Gesucht: Gleichverteilung der Zahlung über 30 Jahre

3.2. Dynamische Verfahren Wird eine zum Zeitpunkt t0 zu gleichen Teilen über eine Anzahl von Jahren (erwartete Nutzungsdauer) einschließlich Zinseszins verteilt, rechnet man mit dem -> Annuitätenfaktor: = ((1+i)n * i)/ ((1+i)n –1) (gleiches Beispiel s.o.) Gegeben: Barwert: 30.744 € Zinssatz: 5 % Gesucht: Gleichverteilung der Zahlung über 30 Jahre = 0,0651 * 30.744 € (Gegenwartswert s.o.) = 2.000 €

3.2.1. Dynamische Verfahren Es gibt drei wesentliche Verfahren: - Kapitalwertmethode - interne Zinsfußmethode - Annuitätenmethode 3.2.2. Kapitalwertmethode Die Kapitalwertmethode ermittelt den Barwert einer Investition. Dieser stellt den Wert dar, den eine zukünftige Zahlung heute hat, d.h. es wird eine Abzinsung (Diskontierung) durchgeführt.

3.2.2. Kapitalwertmethode Vorgehensweise: Ermittlung und Prognostizierung der Anschaffungsausgaben und jährlichen Zahlungen Vorgabe des Zinssatzes (Marktzins oder ein intern vorgegebener Mindestzinssatz) Ein- bzw. Auszahlungsüberschüsse periodisieren und abzinsen Falls die Zurechnung der Zahlungen auf jährliche Zeitpunkte zu ungenau ist, kann auch eine kontinuierliche Diskontierung erfolgen, was allerdings den Aufwand erheblich steigert. Zuletzt sind dann die diskontierten jährlichen Barwerte aufzusummieren und der gesamte Barwert (Kapitalwert) ist dann als Entscheidungskriterium zu verwenden. Bemerkungen: Die Vorteilhaftigkeit einer Investition hängt bei diesem Investitionsrechnungs-verfahren stark von dem Ansatz des Kalkulationszinssatzes ab. Mit steigendem Kalkulationszinssatz nimmt der Kapitalwert ab. Die Vergleichbarkeit mehrerer Investitionsobjekte ist nur gegeben, wenn der Anfangsinvestitionsbetrag, die Nutzungsdauer und die Zahlungsüberschüsse gleich sind. Gegebenenfalls sind Differenzbeträge bzw. Restzeiträume mit dem Kalkulationszinssatz zu überbrücken oder Ergänzungsinvestitionen in die Berechnung einzubeziehen. Die Kapitalwertmethode enthält die Annahme, dass sich alle Ergänzungsinves-titionen zum Kalkulationszinssatz verzinsen.

3.2.2. Kapitalwertmethode KW = 0 Ist der Kapitalwert gleich 0, so werden die eingesetzten Mittel wieder- gewonnen und die Beträge genau zu dem festgelegten Kalkulationszinssatz verzinst. KW > 0 Ist der Kapitalwert größer 0, so errechnet sich ein zusätzlicher Überschuss über die Mindestverzinsung des Kapitalzinssatzes hinaus. Die Investition ist somit vorteilhaft. KW < 0 Ist der Kapitalwert kleiner 0, so wird nicht einmal die Mindestverzinsung erreicht. Die Investition ist unwirtschaftlich. Bei einem Vergleich mehrerer Investitionsobjekte ist das Objekt mit dem höchsten Kapitalwert zu bevorzugen.

3.2.2. Kapitalwertmethode Vorteile: geringer (Rechen-) Aufwand hohe Anschaulichkeit berücksichtigt als dynamisches Verfahren mehrere Zeitabschnitte und ist damit realitätsnäher als statische Verfahren durch Vorgabe eines Mindestzinses lässt sich ein gewisses Maß an Sicherheit einfach mit berücksichtigen Nachteile: keine Berücksichtigung von unterschiedlichen Kapitalbindungen zu Beginn und/oder während der Nutzungsdauer viele Prognosen zur Datenermittlung (für die Zahlungsreihe) notwendig

3.2.2. Kapitalwertmethode Berechnung: n KW =  ((EJ – AJ)* 1/(1+i)J) – KI + R/(1+i)n J = 1 Beispiel: Ermittlung des Kapitalwertes einer einzelnen Investition Investitionsausgabe (Anschaffungswert der Investition): KI = 100.000 € Planungszeitraum: 5 Jahre, Kalkulationszinssatz: 6 % Differenz Ein- und Auszahlungen: E1 = 55.000 € A1 = 15.000 € 40.000 € E2 = 50.000 € A2 = 15.000 € 35.000 € E3 = 50.000 € A3 = 20.000 € 30.000 € E4 = 50.000 € A4 = 20.000 € 30.000 € E5 = 50.000 € A5 = 25.000 € 25.000 € Restwert: R = 0 €

3.2.2. Kapitalwertmethode Berechnung: n KW =  ((EJ – AJ)* 1/(1+i)J) – KI + R/(1+i)n J = 1 0 1 2 3 4 5 Jahre -100.000 € 40.000 € 35.000 € 30.000 € 30.000 € 25.000€

Wird der Kapitalwert mit steigender Verzinsung größer oder kleiner ? 3.2.2. Kapitalwertmethode Berechnung: n KW =  ((EJ – AJ)* 1/(1+i)J) – KI + R/(1+i)n J = 1 0 1 2 3 4 5 Jahre -100.000 € 40.000 € 35.000 € 30.000 € 30.000 € 25.000€ + 37.735 € + 31.150 € + 25.188 € + 23.762 € + 18.681 € Kapitalw. = 36.516 € Das bedeutet, dass das eingesetzte Kapital über fünf Jahre mit mehr als 6 % Prozent verzinst wird und die Investition einen Gewinn verspricht. Bei einem Vergleich von Alternativen, die sich einander ausschließen, ist diejenige mit dem höchsten Kapitalwert die vorteilhafteste (Gleiche Lebensdauer, annähernd gleicher Kapitaleinsatz ist Voraussetzung für Vergleichbarkeit der Kapitalwerte). Wird der Kapitalwert mit steigender Verzinsung größer oder kleiner ?

Welche Anlagentechnik ist zu bevorzugen ? 3.2.2. Kapitalwertmethode Beispiel: Kapitalwertberechnung zur KWK-Anlage Dimension Variante A Variante B Variante C Investition € 100.000 125.000 90.000 Nutzungsdauer a 5 4 Restwert 5.000 20.000 - Kalkulationszinssatz % 6 Auszahlung 1 €/a 13.000 11.000 12.000 Auszahlung 2 13.500 11.500 Auszahlung 3 14.500 12.500 Auszahlung 4 16.000 Auszahlung 5 14.000 Einzahlung 43.000 44.000 42.000 Kapitalwert ? Welche Anlagentechnik ist zu bevorzugen ?

Beispiel: Kapitalwertberechnung zur KWK-Anlage 3.2.2. Kapitalwertmethode Beispiel: Kapitalwertberechnung zur KWK-Anlage Dimension Variante A Variante B Variante C Investition € 100.000 125.000 90.000 Nutzungsdauer a 5 4 Restwert 5.000 20.000 - Kalkulationszinssatz % 6 Auszahlung 1 €/a 13.000 11.000 12.000 Auszahlung 2 13.500 11.500 Auszahlung 3 14.500 12.500 Auszahlung 4 16.000 Auszahlung 5 14.000 Einzahlung (1-5) 43.000 44.000 42.000 Kapitalwert 23.786 23.425 13.953

nach i auflösen und berechnen ! (Umstellung nach i etwas aufwendig) 3.2.3. Interne Zinsfußmethode 3.2.3. Interne Zinsfußmethode Setzt man in der Gleichung den Kapitalwert mit 0 an und löst die Gleichung nach dem Zinssatz i auf, lässt sich die effektive Verzinsung berechnen. Berechnung: n 0 =  ((EJ – AJ)* 1/(1+i)J) – KI + R/(1+i)n J = 1 nach i auflösen und berechnen ! (Umstellung nach i etwas aufwendig) Graphische Lösung ist einfach und zeigt Kurvenverlauf ! (siehe Excel-Tabelle) Da die Methode des internen Zinsfuß aus der Kapitalwertmethode abgeleitet ist, bringt sie keine fundamental neue Erkenntnisse. Interessant kann der Kurvenverlauf sein, der je nach lokalen Extremwerten bzw. Schnittpunkten zwischen den Kurven neue Aussagen zulässt.

3.2.3. Interne Zinsfußmethode

3.2.4. Annuitätenmethode 3.2.4. Annuitätenmethode Zeigt die Kapitalwertmethode das Ergebnis einer Investition während der gesamten Nutzungsdauer an, wird bei der Annuitätenmethode die zu erwartende Wirtschaftlichkeit je Planungsperiode ausgewiesen. Die Annuität ist dann : - der in Jahresbeträge umgewandelte Kapitalwert - der Betrag, der der Kasse entnommen werden kann, nachdem die Verzinsung und die Wiedergewinnung des gebundenen Kapitals gesichert sind Es wird die Variante gewählt, die die höchste Annuität aufweist. Sie entspricht somit einem fiktiven durchschnittlichem Gewinn in jeder Planungsperiode. Berechnung: A = KW * a A = Annuität KW0 = Kapitalwert bezogen auf Zeitpunkt 0 a = Annuitätenfaktor (siehe Beiblatt, Berechnung nach Annuitätenmethode in beiliegender Excel-Tabelle)

3.2.5. Zusammenfassung 3.2.5. Zusammenfassung Wichtigster Schritt bei der Beurteilung der Wirtschaftlichkeit ist die Auswahl des richtigen Zinsfußes, der unter folgenden Annahmen getroffen werden muss: - Soll- und Habenzinsen sind gleich - Fremdkapital hat die gleiche Qualität wie Eigenkapital - Zinssatz ist über die Lebensdauer des Projektes konstant Diese Annahmen sind natürlich etwas realitätsfern. Sie sind aber erforderlich, um überschaubar und mit vertretbarem Aufwand Investitionsrechnungen durchführen zu können. Mit der Variation von Parametern (z.B. Energiekosten, Zinssatz, Preissteigerungen etc.) kann man aber eine Investition im Vorfeld relativ genau abschätzen und den Vergleich mit anderen Varianten gut gegenüberstellen. Je höher man z.B. den Zinssatz wählt, umso sicherer ist die gewählte Investition gegenüber Unwägbarkeiten geschützt. Je knapper die Energiekostensteigerung gewählt wird, umso weniger Spielraum hat man zukünftig bei schwankenden Marktpreisen und kann bei wirtschaftlich umstrittenen Projekten schnell in die Unwirtschaftlichkeit abgleiten.

Entscheidungskriterium 3.2.5. Zusammenfassung Voraussetzungen Erforderliche Daten Entscheidungskriterium Anwendung Kapitalwertmethode Zeitliche Verteilung von Ein- und Auszahlungen ist bekannt Kalkulationszins Auszahlungen Einzahlungen Nutzungsdauer Investitionen Restwert Kapitalwert > 0 bzw. höchster Kapitalwert Erweiterungs-investition Interner Zinsfuß Wenn interne Rendite > als gewählter Kalkulationszinssatz, dann ist das Projekt vorteilhaft Höchster interner Zinssatz bei vergleichbaren Projekten Annuitätenmethode Wenn A > 0, Projekt vorteilhaft Höchste Annuität bei vergleichbaren Projekten Ersatz- und Rationalisierungs-investition

Anwendung in der Praxis 3.2.5. Zusammenfassung Anwendung in der Praxis Im Rahmen der Vorplanung werden für die zu untersuchenden alternativen Investitionsvarianten die Kosten ermittelt. Die Investitionen werden dabei als annuitätische Jahreskosten mit der jeweiligen Nutzungsdauer der Anlagenkomponenten nach VDI 2067 eingebracht. Weitere Kosten werden als Jahreskosten in verbrauchsgebundene Kosten + betriebsgebundene Kosten aufgeteilt. - Brennstoffkosten - Wartung - Hilfsenergie - Schornsteinfeger - Kühlwasserkosten - Kundendienst - Betriebsstoffe - Schmierstoffe + sonstige Kosten - Lagerkosten für Brennstoffe - Versicherung - Verzinsung der Vorauszahlung - Abgaben für Brennstoffeinlagerung - Steuern - Verwaltungskosten - Gewinn

He, kiekt maal wat Harmat da moogt Der Zusammenhang zwischen Bildung und einer gebratenen Hähnchenkeule