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Räume (I) Nach I. Kant ist der Raum eine grundlegende Form unserer Anschauung anders ausgedrückt: eine bestimmte Weise, wie wir unsere Wahrnehmung organisieren die Vorstellung von Raum geht somit der Erfahrung (Messung) voraus eine Messung ist die Bestimmung einer Invariante ohne das Konzept einer Invariante wäre die strafrechtliche Verfolgung von Geschwindigkeitsübertretungen nicht zu vertreten Geschwindigkeit Invariante gegenüber Tachometer Radarmessung der Polizei

Räume (II) Interessanterweise gibt es nicht einen, sondern mehrere Räume abhängig von der Fragestellung 4 große Bereiche Betrachungen auf der Erdoberfläche Geometrie auf dem Ellipsoid (geodätisches Rechnen) Abbildung der Erdoberfläche auf die Ebene (Karte) Netzentwürfe, Kartographie Abbildungen im Raum und in der Ebene euklidische Geometrie, lineare Algebra Projektion auf das Bild Verzerrende Abbildungen, Topologie

Invarianten Abbildungen Projektivität Affinität Ähnlichkeit Bewegung Operationen Geradentreue Projektivität ... + Parallelenkonvergenz Parallelentreue Affinität ... + Scherung Winkeltreue Ähnlichkeit Zoom  + r + t Abstandstreue Bewegung r + t Verschiebung t Translation Rotation Rotation r (um 0) Koordinaten-differenzen Richtungswinkel-differenzen

Topologische Räume In der Praxis sinnvolle Transformationen, die alle „geometrischen“ Invarianten verletzen können trotzdem „strukturelle“ räumliche Eigenschaften erhalten Paradigma: elastische Verformung Metapher: Gummihauttransformation anderes Beispiel: Tätowierung (kartographisches) Beispiel: Übersichtskarte Hamburg (aus einem Tourenplaner) Liniennetzplan des Hamburger Verkehrsverbundes

Übersichtskarte Hamburg und Umgebung

Schnellbahnen Hamburg und Umgebung

Ausgangs-punkt Elastische Verformung

Topologische Invarianten (Beispiele) Ein Knoten ist Endpunkt einer Kante Zwei Kanten kreuzen sich / sind kreuzungsfrei Ein Punkt liegt im Inneren einer Fläche Ein Punkt liegt auf dem Rand einer Fläche Eine Fläche hat ein Loch Eine Fläche ist zusammenängend / nicht zusammenhängend Zwei Flächen sind benachbart

Nicht-topologische Eigenschaften Abstand Fläche Winkel Umfang Durchmesser

Mathematik

Punktmengentopologie Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) ) Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt: T1: Jeder Punkt x  S liegt in einer Nachbarschaft von S. T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eine Punktes x  S enthält eine Nachbarschaft von x. Nachbarschaft Punkt

Beispiele Die offene Kreisscheibe in der euklidischen Ebene Punkt Die offene Kreisscheibe in der euklidischen Ebene Menge aller Punkte, die durch einen Kreis begrenzt werden, aber nichtauf demselben liegen punktierte Linie: offen durchgezogene Linie: geschlossen Beachte: T2 ist erfüllt Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eines x  S enthält eine Nachbarschaft von x. Offene Kreisscheibe

Weitere ( teilweise „pathologische“) Beispiele Die diskrete Topologie von S: S und die Menge aller Teilmengen von S die kleinste Nachbarschaft von x ist {x} („Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“) Die indiskrete Topologie S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R) die offenen Kugeln in S = R3

Die „Fahrtzeittopologie“ Gegeben sei ein Gebiet, das durch ein Verkehrsnetz erschlossen ist. S sei die Menge aller Punkte des Gebiets. Sei d(x,y) die Fahrtzeit auf der kürzesten Verbindung zwischen x und y. Annahme Für alle x, y  S gilt: d(x,y) = d(y,x) Symmetrie, keine Einbahnstraßen t-Zone: die Menge aller Punkte, die in weniger als t Minuten erreichbar ist. S mit der Menge aller t-Zonen ist eine Topologie.

Die 1-Stunden-Zone um Liége

Jetzt kommen einige auf den ersten Blick recht abstrakte Definitionen

Zielbegriff: Der Rand oder die Grenze Teilziel: Offene und geschlossene Flächen

Nähe, Offen + Geschlossen Im folgenden stets: S sei ein topologischer Raum, X  S, x  S x ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von x einen Punkt von X enthält. X ist offen, wenn jeder Punkt y  X eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist. X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält. C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1. Nicht nahe nahe geschlossen offen

Der Rand oder die Grenze Der Abschluß einer Teilmenge X  S ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten. Notation: X¯ Komplement: X‘ Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X‘ sind. Notation: X° Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X‘ sind. Notation: X Es gilt: X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.) Der „Rand“ einer offenen Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten)

Beispiele Das Innere von S Die Menge S Rand von S Abschluß von S

Zusammenhang Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder umgekehrt. nicht zusammenängend zusammen hängend

Diskret und indiskret Übung 1: Zeigen Sie: In der diskreten Topologie ist jede nichtleere Menge gleichzeitig offen und geschlossen. Übung 2: Zeigen Sie: In der indiskreten Topologie ist jede nichtleere Menge weder offen noch geschlossen.

Topologische Eigenschaften Eine topologische Transfor-mation (Homeomorphismus) oder eine elastische Verformung bildet Nachbar-schaften auf Nachbarschaften ab. Ferner ist jede Nachbarschaft Bild eine Nachbarschaft. Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen. Euklidische Topologie äquivalent nicht äquivalent