Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen Die Ausbreitung einer Welle kann durch Reflexion an Flächen, Brechung in Medien und Beugung an Hindernissen verändert werden. Diese Veränderungen lassen sich mit Hilfe des Huygensschen Prinzips verstehen. Huygenssches Prinzip: Jeder Punkt einer Phasenfläche ist Ausgangspunkt einer neuen Kugelwelle. Gaub WS 2014/15

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen Beispiel: Phasenebene einer ebenen Welle in z-Richtung Elementarwellen von N Quellpunkten im Abstand δ In Richtung α gegen die Wellennormale k ist die Wegdifferenz benachbarter Elementarwellen: Gaub WS 2014/15

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen Überlagerung aller Elementarwellen (Amplitude a) der N Quellen vom Punkt P im Abstand r >> d = N δ. Die Gesamtamplitude im Winkelbereich α ± Δα ist dann: mit

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen Intensität: Gaub

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen Falls λ < δ treten p Maxima für alle Winkel auf, für die gilt: Gaub WS 2014/15

Reflexion und Brechung von Wellen Brechung und Reflexion lassen sich auf ein Minimalprinzip zurückführen, das Fermatsche Prinzip: Eine Welle nimmt von einem Punkt zu einem anderen immer den Weg der kürzesten Laufzeit. Snelliussches Brechungsgesetz Gaub WS 2014/15

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Nach Fourier lässt sich eine beliebige Störung ξ, die sich in z-Richtung ausbreitet, darstellen als Superposition unendlich vieler harmonischer Wellen: Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Variiert die Phasengeschwindigkeit einer Welle mit der Wellenlänge, kommt es zur Dispersion: das Wellenpaket zerfliesst. Wasser-Oberflächenwellen Die Amplituden A(ω) ergeben sich durch inverse Fourier-Transformation:

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Bsp.: Überlagerung zweier Wellen gleicher Amplitude ξ heißt Schwebungswelle, dargestellt durch eine Welle mit der Mittenfrequenz und der mittleren Wellenzahl, deren Einhüllende durch die Frequenz Δω und die Wellenzahl Δk beschrieben wird (zeitlich variable Amplitude). Die Einhüllende bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit Gaub WS 2014/15

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit 1/vG 1/vph Gaub

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Zusammenhang zwischen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit: Gaub WS 2014/15