Milot Mirdita

Gliederung Begriffsdefinitionen NumDiffSchwingungen Fehler und Fehlerfortpflanzung Euler-Cauchy Verfahren v 2 -Proportionalitaet 2Milot Mirdita

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Explizite DifferentialgleichungImplizite Differentialgleichung y‘‘(x) = y(x)...f(x) = y‘‘(x) – y(x) … = 0 7Milot Mirdita

Symbolisches Rechnen Numerisches Rechnen x/a = 4 x = 4a Sei a = 2 x = 8 f(x) a = x/a Sei a = 2 Sei x 0 = 0 Gesucht f(x) 2 = 4 f(x +  h) … f(7,999) = 4 8Milot Mirdita

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Numerik Teilgebiet der Mathematik Approximation Anwendung Wetterberechnung Unfallsimulation Wirtschaftsinformatik … 11Milot Mirdita

Approximation, Fehler und Fehlerfortpflanzung Problem: Datentyp hat einen begrenzten Speicher Unendliche Zahlenmenge  muss auf eine endliche Zahlenmenge  abgebildet werden. Datentyp: Fließkommazahlen (Float und Double) 12Milot Mirdita

Fließkommazahlen r = m  b e 13 DatentypMantissenbitsExponentenbits Single238 Double5211 Mantisse Basis Exponent Grundlage Wissenschaftliche Notation: c = m/s = ,458 · 10 3 m/s = 0, · 10 9 m/s = 2, · 10 8 m/s Milot Mirdita

Beispiel d = 50000; k 1 = 0; k 2 = 0; s 0 = 0; v 0 = 10; t=0; t max =50000; 14Milot Mirdita

Gedämpfte Harmonische Schwingungen F R = -Ds F D = -kv F ges = F R + F D ma = -Ds – kv ms(t) = -Ds(t) – ks(t) ∙ ∙ ∙ V FRFR FDFD FDFD Gedämpfte Harmonische Schwingungen Herleitung Fallunterscheidung Aperiodischer Grenzfall V 15 Von Patrick

Numerisches Lösen der Schwingungsdifferentialgleichung Gleichung: Parameter Anfangswert s 0 und v 0 Koeffizienten: d, k 1 und k 2 Schrittweite: h 16Milot Mirdita

Euler Cauchy Verfahren s(t +  t) = s(t) +  t  s'(t) s'(t +  t) = s'(t) +  t  s''(t) 17Milot Mirdita

Als Code while(t < t1) { y[0] = y[0] + h * y[1]; y[1] = y[1] + h * (-d * y[0] - k1 * y[1] + k2 * y[1] ^2); t = t + h; } Parameter: d=1; k1=0,1; k2=0; s0=0; v0=1; h=1; t=0; t1=5; 18Milot Mirdita

Schritt 1: while(0 < 5) { y[0] = * 1; // 1 y[1] = * (-1 * 0 – 0.1 * * 1^2); // t = 0 + 1; // 1 } Milot Mirdita

Schritt 2: while(1 < 5) { y[0] = 1 + (-0.99); // -0, y[1] = (-0.99) + (-1 * 1 – 0.1 * (-0.99) + 0 * (-0.99)^2); // -0,801 t = 1 + 1; // 2 } 20Milot Mirdita

Schritt 3: while(2 < 5) { y[0] = -0, h * -0,801; // -0,891 y[1] = -0,801 + h * (-1 * -0, – 0.1 * -0, * -0,801^2); //0,1701 t = 2 + 1; //3 } 21Milot Mirdita

Schritt 4: while(3 < 5) { y[0] = -0,891 + h * 0,1701; // -0,7209 y[1] = 0, h * (-1 * -0,891 – 0.1 * 0, *0,1701^2); // 0,87399 t = 3 + 1; // 4 } 22Milot Mirdita

Schritt 5: while(4 < 5) { y[0] = -0, h * 0,87399; // 0,15309 y[1] = 0, h * (-1 * -0,7209 – 0.1 * 0, *0,87399^2); // 0, t = 4 + 1; //5 } 23Milot Mirdita

Graph 24Milot Mirdita

Verschiedene Schrittweiten Milot Mirdita

26 p wind = c w  ρ/2  v 2 y‘(x) = s‘(x) = v(x) Milot Mirdita

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