Kosten / Nutzen-Optimierung komplexer Floating-Point- Berechnungen unter Ausnutzung variabler Präzision Programming Language Design and Implementation.

Präsentation zum Thema: "Kosten / Nutzen-Optimierung komplexer Floating-Point- Berechnungen unter Ausnutzung variabler Präzision Programming Language Design and Implementation."—  Präsentation transkript:

1 Kosten / Nutzen-Optimierung komplexer Floating-Point- Berechnungen unter Ausnutzung variabler Präzision Programming Language Design and Implementation Daniel Weber, Tobias Ickler

2 Darstellung von Gleitkommazahlen x = (-1) s m β ez.B. 3,212 10 x = + 3,212 10 -4 mit m = d 0, d 1 d 2 d 3 … d p-1 (mit 0 d i < β) s є { 0, 1 }, β : Basis, e : Exponent

3 IEEE 754 PräzisionMantisseExponentZahlenbereich (dezimal) 32 Bit single precision 23 Bits8 Bit -127 e +128 - 1,175 10 38 bis 3,403 10 38 64 Bit double precision 52 Bits11 Bits -1022 e 1023 - 2,225 10 308 bis 1,798 10 308

4 Rundungsfehler x 1 = 0,03214 β = 10, p = 3 x 2 = 3,21 10 -2 0,4 ulps (units in the last place) Fehler

5 Fehler Absoluter Fehler in einer Gleitkommaoperation: ½ β –p ½ ulps ½ β 1 - p Maximaler relativer Fehler: ε = ½ β 1 – p

6 Computational Graphs

7 Variable Präzision Geht man davon aus, dass in jeder Operation mit einer unterschiedlichen Präzision gerechnet wird, gilt ε p = ½ β 1 – p mit ε p-1 = 2 ε p

8 Problemstellung Lösung für das Problem bei variabler Präzision mit minimalen Kosten einen vorgegebenen Fehlerwert nicht zu überschreiten, wobei die Kosten durch die Anzahl der Operationen und deren Präzision bestimmt wird. Kostenfunktion:

9 Verbindung zu Programmiersprachen Hardwarebeschreibungssprachen FPGAs Günstige Produktion oder zeitkritische Anwendung Beispiele für mögliche Funktionsaufrufe: x = a + 24 b x = opt 16 ( (a + b / 4) b, a = [a 1, a 2 ], b = (b 1, b 2 ])

10 Fragen?

11 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!