Wir suchen ‘ mit m = m    ‘ c  ‘ mod 26

Präsentation zum Thema: "Wir suchen ‘ mit m = m    ‘ c  ‘ mod 26"—  Präsentation transkript:

1 Wir suchen ‘ mit m = m    ‘ c  ‘ mod 26
d.h. wir suchen ein ‘ mit   ‘  1 mod 26 Ein solches ‘ heißt multiplikatives Inverses zu  .

2 Zu welchen  findet man ein ‘ mit  • ‘  1 mod 26 ?
Vorüberlegung: Zu welchen  findet man ein ‘ mit  • ‘  1 mod 26 ? Vielfache der einzelnen Zahlen modulo 26 Zahlen : Vielfache der 2: Vielfache der 3: Vielfache der 4: Vielfache der 5: Vielfache der 6: ... Vielfache der 13:

3  mod 26 teilerfremd, d.h. ggT(, 26) = 1
Wir stellen fest: ‘ existiert zu   und 26 sind  mod 26 teilerfremd, d.h. ggT(, 26) = 1 Wie findet man jedoch ein solches multiplikatives Inverses ‘ ?

4 ‘  1 mod d  teilerfremd existiert d.h. ggT(, d) = 1
Allgemein: ‘ mit  und d sind ‘  1 mod d  teilerfremd existiert d.h. ggT(, d) = 1 Wie findet man jedoch ein solches multiplikatives Inverses ‘ ?

5 Beispiele (multiplikative Inverse bestimmen): a) Wir berechnen ‘ zu  = 11 mod 26 b) Wir berechnen ‘ zu  = 17 mod 26

6 Euklidischer Algorithmus – zugrundeliegende Idee
Bestimmung des ggT(792; 75): Die zugrundeliegende Idee: Sei a = qb + r mit a, b, q, r IN 0 0 r  b-1 792 = 10  Dann ist ggT(a;b) = ggT(b;r). 75 = 1  Im Beispiel gilt also: 42 = 1  ggT( 792; 75) = ggT(75; 42) = ggT ( 42; 33) 33 = 3  = ggT (33; 9) = ggT (9; 6) 9 = 1  = ggT(6;3) = 3 6 = 2  , also ist ggT(792; 42) = 3

7 Der erweiterte euklidischer Algorithmus
Suche ganze Zahlen x und y mit der Eigenschaft, dass 3 = x y 75 . 792 = 10  = 9( 75) – 575 = 9  75 75 = 1  = 4  42 – 5  (  42) = 9   75 42 = 1  = 4  (42 – 1  33) – 1  33 = 4  33 33 = 3  = 9 – 1  ( 9) = 4  9 – 1 33 9 = 1     = 9 – 1  6 6 = 2  3

8 Aufgabe: Bestimme ganze Zahlen x und y mit 5 = x · 490 + y ·225 .