Reelle Zahlen Grundrechenarten √2, √3, √5, … V 0.1

Ein neuer Zahlenbereich: die irrationalen Zahlen Reelle Zahlen Ein neuer Zahlenbereich: die irrationalen Zahlen - √7 √2 - √13 - √3 √332 √5 - √62 √23 Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Quadratwurzeln Eine Zahl x heißt Quadratwurzel einer Zahl a  0, wenn x2 = a ist. Die Zahl x kann positiv und negativ sein. Die Zahl a muss immer positiv sein, denn es gibt keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. Beispiele: a = 16  x = 4 oder x = – 4 a = – 25  es gibt keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert – 25 ergibt ! Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Quadratzahlen Eine natürliche Zahl a heißt Quadratzahl, wenn sie das Quadrat einer natürlichen Zahl b ist: a = b2 (a, b ϵ N). Beispiele: 121 ist Quadratzahl, denn 11 * 11 = 121 und 11, 121 ϵ N 120 ist keine Quadratzahl, denn es gibt keine natürliche Zahl b für die gilt: 120 = b * b. Die kleinsten 10 Quadratzahlen sind: (0), 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Irrationale Zahlen Die Quadratwurzeln aller Zahlen, die sich nicht als ganze Zahlen (rationale Zahlen) darstellen lassen, werden irrationale Zahlen genannt. Diese Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen, d.h., ihre Nachkommastellen ergeben keine Periode. Diese Zahlen lassen sich daher nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen anschreiben, sie sind also nicht rational. Irrationale Zahlen können im Dezimalsystem nur näherungsweise angegeben werden. Beispiele: √3 = 1,732050808 … ~ 1,73 √32 = 5,656854249 ….~ 5,66 Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Quadratwurzeln und Irrationale Zahlen Satz: Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche Zahl (bzw. deren negatives Äquivalent) oder sie ist irrational. Beispiele: √4 = 2 (natürliche Zahl) bzw. -2 (negatives Äquivalent) √5 = 2,236067978….~ 2,24 (irrationale Zahl) Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Rechenregeln mit Quadratwurzeln Die Wurzel einer Summe ist nicht gleich der Summe der Wurzeln: √(a + b) ≠ √a + √b Die Wurzel einer Differenz ist nicht gleich der Differenz der Wurzeln: √(a – b) ≠ √a – √b Beispiele: 3,60555… = √13 = √(9 + 4) ≠ √9 + √4 = 3 + 2 = 5 2,23606… = √5 = √(9 – 4) ≠ √9 – √4 = 3 – 2 = 1 Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Rechenregeln mit Quadratwurzeln Die Wurzel eines Produktes ist gleich dem Produkt der Wurzeln: √(a * b) = √a * √b Die Wurzel eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln: √(a / b) = √a / √b Beispiele: 6 = √36 = √(9 * 4) = √9 * √4 = 3 * 2 = 6 2 = √4 = √(16 / 4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2 Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Kubikwurzeln Eine Zahl x heißt Kubikwurzel einer Zahl a, wenn x3 = a ist. Die Zahl x muss positiv sein, wenn a positiv ist. Die Zahl x muss negativ sein, wenn a negativ ist. Beispiele: a = 8  x = 2, weil 2 * 2 * 2 = 8 a = – 8  x = – 2, weil (– 2) * (– 2) * (– 2) = – 8 Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Kubikzahlen Eine natürliche Zahl a heißt Kubikzahl, wenn sie die dritte Potenz einer natürlichen Zahl b ist: a = b3 (a, b ϵ N). Beispiele: 27 ist Kubikzahl, denn 3 * 3 * 3 = 27 und 3, 27 ϵ N 36 ist keine Kubikzahl, denn es gibt keine natürliche Zahl b für die gilt: 36 = b * b * b. Die kleinsten 10 Kubikzahlen sind: (0), 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Zahlenmengen - Mengendiagramm N ist Teilmenge von Z R: Reelle Zahlen Q: Rationale Zahlen {z.B. ½, 0.25, 3.4, …} I: Irrationale Zahlen {z.B. √2, √3, …} Z: Ganze Zahlen {… -2, -1, 0, 1, 2, …} N: Natürliche Zahlen {(0), 1, 2, 3, …} N ist Teilmenge von Z Z ist Teilmenge von Q Q ist Teilmenge von R I ist Teilmenge von R Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Reelle Zahlen auf der Zahlengeraden Jeder reellen Zahl ist genau ein Punkt auf der Zahlengeraden zugeordnet und umgekehrt. Unendlichkeit der Reellen Zahlen Es gibt unendlich viele reelle Zahlen. Zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen gibt es unendlich viele reelle Zahlen. Beweis: Seien a und b zwei beliebige reelle Zahlen, dann liegt c = (a + b) / 2 zwischen a und b. In gleicher Weise kann man eine Zahl finden, die zwischen a und c liegt usw. Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Zusammenfassung Eine Zahl x heißt Quadratwurzel einer Zahl a  0, wenn x2 = a ist. Quadratwurzeln lassen sich darstellen als ganze Zahlen (Teilmenge der rationalen Zahlen) darstellen oder als irrationale Zahlen (unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen). Die Vereinigung der rationalen und irrationalen Zahlen ergibt die Menge der reellen Zahlen. Die Wurzel einer Summe/Differenz ist nicht gleich der Summe/Differenz der Wurzeln. Die Wurzel eines Produktes/Quotienten ist gleich dem Produkt/Quotient der Wurzeln. Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen Aufgaben Wie viele Lösungen hat √36 ? Welche Quadratzahlen liegen im Bereich 200 bis 300 ? Wie viele reelle Lösungen gibt es für √-16 ? Ist die Kubikwurzel einer negativen Zahl positiv oder negativ ? Ist die Quadratwurzel einer positiven Zahl positiv oder negativ ? Warum kann eine irrationale Zahl nur näherungsweise angegeben werden ? Wie wird die Zahlenmenge R \ Q (R ohne Q) bezeichnet ? 81 * 25 = 2025. Berechne im Kopf: √2025 Welche der folgenden Aussagen ist richtig: Die Wurzel eines Quotienten ist gleich dem Quotient der Wurzeln. Die Wurzel einer Differenz ist gleich der Differenz der Wurzeln. Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013

Reelle Zahlen ENDE Mathematik macht Spaß! 25.06.2013 Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 25.06.2013