Infinitesimalrechnung

Präsentation zum Thema: "Infinitesimalrechnung"—  Präsentation transkript:

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2 Infinitesimalrechnung

3 19. Folgen

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9 Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied
(an) = 2, 4, 6, 8, 10, ... an = 2n an = 2 + an a1 = 2 (bn) = 8, 10, 12, 14, ... bn = 2(n + 3) bn = 2 + bn b1 = 8 (cn) = 2, 4, 8, 16, 32, ... cn = 2n cn = 2cn-1 c1 = 2 (dn) = 1, 4, 9, 16, 25, ... dn = n2 dn = (1 + dn-1)2 d1 = 1 (en) = 9, 16, 25, 36, ... en = (n + 2)2 en = (1 + en-1)2 e1 = 9 (fn) = 1,1/2 ,1/3 ,1/4 , ... fn = 1/n 1/fn = 1 + 1/fn-1 f1 = 1 (gn) = -1, 1, -1, 1, -1, ... gn = (-1)n gn = -gn-1 g1 = -1

10 Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren
Umgebung (h - e, h + e) für jedes e > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.

11 Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren
Umgebung (h - e, h + e) für jedes e > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.

12 Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge. Bernard Bolzano ( ) Karl Weierstraß ( )

13 lim an = a oder kurz (an)  a
Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge. lim an = a oder kurz (an)  a n   Bernard Bolzano ( ) Karl Weierstraß ( )

14 Satz. Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge.
an heißt Spitze der Folge, wenn an  am für  m > n. Eine Folge besitzt endlich viele oder unendlich viele Spitzen. Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge. Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem e > 0 eine natürliche Zahl ne   gibt, so dass für m, n ≥ ne gilt |an – am| < e (19.3) Augustin Louis Cauchy ( )

15 () (an) sei konvergent. |an – a| < e/2 und |a – am| < e/2.
e > |an – a| + |a – am| ≥ |an – a + a – am| = |an – am| () Nun gelte (19.3). (an) ist beschränkt und enthält (ank)  a. |an – ank| < e/2 und | ank – a| < e/2 e > |an – ank| + | ank – a| ≥ |an – ank + ank – a| = |an – a| Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem e > 0 eine natürliche Zahl ne   gibt, so dass für m, n ≥ ne gilt |an – am| < e (19.3) Eine konvergente Folge nennt man deshalb auch Cauchy-Folge. In den reellen Zahlen besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, in den rationalen Zahlen nicht. Augustin Louis Cauchy ( )

16 Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen
rationaler Zahlen definieren. x = k x2 = k 2x2 = x2 + k Augustin Louis Cauchy ( )

17 Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen
rationaler Zahlen definieren. x = k x2 = k 2x2 = x2 + k

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20 Leonardo von Pisa ( ) Fibonacci

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