3. 3D-Betrachtungstransformationen 3.1 Koordinatensysteme und 3D-Transformationen Darzustellende Szene ist Teilmenge des dreidimensionalen affinen Raumes E3 = (A, V) A: geom. Punktraum V: dreidimensionaler Vektorraum R3 Axiome: 1. Zu je 2 Punkten P, QA gehört ein Vektor vV: v = Q - P 2. Zu jedem PA und jedem vV existiert ein eindeutig bestimmtes QA mit Hierdurch wird die Op. P + v: = Q definiert. 3. Ist v = Q - P und w = Q - R, dann gilt v + w = R - P  Q  P  Q v  P Q  v w   P R - P R

Da V = R3 mit dem kanonischen Skalarprodukt < v, w > = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 ausgestattet ist, lassen sich in E3 Abstände zwischen Punkten erklären durch d (P, Q) = |Q - P| = E3 heißt euklidischer Raum. Die Punkte des E3 erhalten Koordinaten durch Auszeich- nung eines KOS S = {0, v1, v2, v3} positive Orientierung: det (v1, v2, v3) > 0 Rotationsachse Richtung der positiven Rotation x y nach z y z nach x z x nach y

negative Orientierung: det (v1, v2, v3) < 0 in erweiterten Koordinaten besitzen affine Abbildungen die Matrixdarstellung:

Spezialfälle: 1) Translation T (dx, dy, dz) 2) Skalierung S (Sx, Sy, Sz) 3) Rotationen um x-, y-, z-Achse: Rx(), Ry(), Rz()

Rotation um beliebige Achse durch Komposition von Rx, Ry, Rz Berechnung der Inversen: T-1 (dx, dy, dz) = T (-dx, -dy, -dz) S-1 (Sx, Sy, Sz) = S ( ) R () = Rz (-) Isometrien erhalten Maßbeziehungen (Abstände, Winkel) F = M · v + c ist Isometrie, wenn < M w, Mv > = < w, v > Dies ist genau dann der Fall, wenn M MT = I oder M-1 = MT

Wegen 1 = det I = det (MMT) = det M · det MT = (det M)² folgt det M =  1 Falls det M = 1, heißt F eigentliche Isometrie, sonst uneigentliche. Bei geeigneter Wahl des KOS haben 3D-Isometrien die Form d. h. Isometrien sind im Wesentlichen Drehungen um eine feste Achse evtl. mit einer Spiegelung an einer Ebene. Bem.: Beachte, dass die Möglichkeit der Inversenbildung gemäß M-1 = MT mit den oben gegebenen Formeln verträglich ist.

• Transformation linearer Objekte bisher Transformation von Punkten Objekte, die über Punkte definiert sind, transformieren sich durch Transformation der Punkte z. B.: Gerade durch zwei affin. unabh. Punkte Ebene durch drei affin. unabh. Punkte Bem.: P0, ..., Pn heißen affin unabhängig, wenn P1 - P0, P2 - P0, ..., Pn - P0 linear unabh. sind P2 ° • P0 ° P1

Transformation einer Ebenengleichung: Ax + By + Cz + D = 0   < N, P > = NT · P = 0 Transformiere die Punkte P der Ebene mit Matrix M (gegeben) Transformiere N mit Matrix Q (gesucht) derart, dass (Q · N)T · M · P = 0 NT · QT · M · P = 0 Diese Beziehung ist erfüllt für QT · M = I Q = (M-1)T Transformierte Gleichung:   mit

• • • • • • Transformation von Normalenvektoren FM n n' n' = (M-1)T n Wechsel des KOS S1 = (0, v1, v2, v3) = (Q, w1, w2, w3) def. bez. S1