Zufallsfelder Def. Zufallsfeld: Sei V eine endliche Menge (von Orten). Für jedes v V existiere eine (endliche) Menge X(v) von Zuständen x(v). Der Raum der Konfigurationen x = {x(v):v V} ist das Produkt X = Πv X(v). Ein strikt positives Wahrscheinlichkeits-maß Π auf X heißt dann Zufallsfeld.

Zufallsfelder 2 Unter Zufallsfeld versteht man auch den Zufallsvektor X auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (X,Π). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsfeldern wird i.d.R. Über die bedingte Verteilung definiert

Beispiel: Gibbs-Feld Sei X(v) = {-1,1} für alle v ∈ V. Dann hat das Gibbs-Feld der Ising-Energie die Form Dabei bedeutet s~v, dass s und v “Nachbarn” sind

Nachbarn Def. Nachbarschaftssystem: Eine Menge von Orten ∂ = {∂{v}: v ∈V} ist ein Nachbarschaftssystem, wenn gilt: Alle s ∈ ∂{v} heißen Nachbarn von v. Eine Teilmenge C von V heißt Clique, falls alle Elemente von C untereinander Nachbarn sind. S~V Kurzschreibweise Graphentheorie: Ungerichteter Graph, Cliquen = kompletter Satz Beispiele fuer Nachbarschaftssysteme: Leere Menge 2 Nachbarn in 1D, 4 Nachbarn, 8 Nachbarn, 12 Nachbarn, Cliquen dazu, Winkler S. 57

Beispiele für Nachbarschaftssysteme Unten: Cayley-Baum Rechts: Bezirke in Westdeutschland (ohne Berlin – wieso?) Begriff Tessellation (Parkettierung)

Markovfelder Def. Markovfeld: Ein Zufallsfeld Π ist ein Markovfeld bezüglich des Nachbarschaftssystems ∂, falls für alle x ∈ X gilt Für endliche Räume X ist jedes Zufallsfeld auch ein Markovfeld. Interessant sind Markovfelder mit kleinen Nachbarschaften. Full conditionals

Bedingte Unabhängigkeit Def. Bedingte Unabhängigkeit: Seien X, Y und Z Zufallsvariablen mit endlichem Zufallsraum. Dann sind X und Y bedingt unabhängig bezüglich Y, falls für alle x, y, z gilt: Satz 3.1: Π ist genau dann ein Markovfeld, wenn Xv und XV\{∂{v}Uv} bedingt unabhängig gegeben X∂{v} sind. Beweis? Full conditionals

Brooks Lemma

Clique

Hammersley-Clifford Meist nur Cliquen aus 2 Elementen 

Auto-logistisches Modell

Gauss-Markov-Zufallsfelder Gehen wir von einem eindimensionalen autoregressiven Prozess aus: Dann gilt für alle t = 2,...,T Random Walk x_t-1 und x_t+1 sind bedingt unabhaengig gegeben x_t

GMRF 2 Falls x1 ~ N(0,1/(1-ϕ2)), gilt mit Was passiert bei phi=1

GMRF 3 Erweitern wir obiges auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen: Def. Gauss-Markov-Zufallsfeld: Ein Zufallsfeld Π heißt Gauss-Markov-Zufallsfeld, falls für jedes v aus einer Menge von Orten v gilt Es läßt sich zeigen: Hammersley-Clifford-Theorem

Intrinsische GMRF Q=Sigma^-1 Aufbau Wie schauts bei Bildern aus?

Zusammenfassung Zufallsvektoren mit Kovarianzstruktur Nachbarschaftsstrukturen Markovfelder Bedingte Unabhängigkeit Gauss-Markovzufallsfelder