Statistische Aspekte der PSG

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1 Statistische Aspekte der PSG
NP VP Art N V PP | | | | | | | P der Hund bellt hier S Art: der, die N: Hund, Katze V: bellt, schläft (P: hier, dort) S  NP VP NP  Art N VP  V 1.) Keine Angaben zu Häufigkeit der Wortformen im Lexikon 2.) Keine Angaben zu Übergangswahrscheinlichkeiten, Wortformen / Phrasen < der Hund >, < die Katze >, (< der Katze >), ( < die Hund >) << der Hund > bellt >, << der Hund > schläft >, (<< die Katze > bellt >)

2 Alternatives Modell: endlicher Automat mit Übergangswahrscheinlichkeiten
0,5 hier O 0,5 der 0,5 Hund 0,5 bellt 0,5 die 0,5 Katze 0,5 schläft 0,5 dort Problem: Weder die Übergangswahrscheinlichkeiten noch das zugrunde liegende Netzwerk (Automat) sind bekannt. Black Box " der" "Hund" " ? " Modell ?

3 Aufgaben:. 1. Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeiten. 2
Aufgaben: 1. Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeiten Präzisierung der probabilistischen Automaten Statistische Grundlagen Notation Sei X eine Zufallsvariable mit einer endlichen Menge V(X) von m Ereignissen. | X = x | sei die Anzahl von Ereignissen bei denen X den Wert x hat ( d. h. x  V(X)). Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von xi ( Abkürzung P(xi) ist: | xi | P (X = xi ) = m  | xj | j = 1

4 Beispiel: Sei W das Auftreten einer bestimmten Wortform wi aus der Menge der m Wortformen eines Textes. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der i-ten Wortform wi ist dann: | wi | P (W = wi ) = m  | wj | j = 1 Bedingte Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses X unter der Voraussetzung , dass das Ereignis y schon eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit P ( x | y ). P ( x , y ) P ( x | y ) = P ( y )

5 Sind x und y voneinander unabhängig, so gilt:
P ( x, y ) = P ( x ) * P ( y ) Die bedingte Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse ist: P ( x | y ) = P ( x ) Beispiel: Die bedingte Wahrscheinlichkeit des Aufeinanderfolgens zweier Wortformen ist: | W1 = wi , W2 = wj | P (W2 = wj | W1 = wi ) = | W1 = wi |

6 Bayessches Gesetz Wenn die Ereignisse x  V (x) einander paarweise ausschließen und die Menge der m Elementarereignisse ausschöpfen, so gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit: P ( x ) * P ( y | x ) P ( x | y ) = P ( y ) Verallgemeinerungen P ( w, x) * P ( y, z | w, x ) P ( w, x | y, z )= P ( y, z ) P ( w1, w2, w3, ... , wn ) = P ( w1 ) * P ( w2 | w1 ) * P (w3 | w1, w2 ) * P (wn | w1, , w n-1)

7 Anwendung: Statistisches Modell der Deutschen Sprache
Weise allen Folgen von Wortformen der Länge n eine Wahrscheinlichkeit zu, d. h. P ( W1,n = wi,n ) für alle Folgen w1,n . W1,n ist eine Folge von n Zufallsvariablen w1, w2, ... , wn , die jeweils irgendeine Wortform des Deutschen als Wert nehmen können, und w1,n ist eine konkrete Folge von deutschen Wortformen. Diese Folge kann auf der Grundlage der verallgemeinerten Bayesschen Regel berechnet werden. P ( w1,n ) = P ( w1 ) * P ( w2 | w1 ) * P ( w3 | w1,2 ) * . . . * P ( wn | w1,n-1 )

8 Als Berechnungsgrundlage dient ein n-gram Modell,
d. h. die Annahme, dass nur die vorangehenden n-1 Wortformen von Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit der nächsten Wortform sind, wobei n = 3 ( daher tri-gram ) P ( wn | w1, ... , wn-1) = P (wn | wn-2, wn-1 ) P ( w1,n ) = P (w1 ) * P (w2 | w1 ) * P ( w3 | w 1,2 ) * * P (wn | wn-2,wn-1 ) n = P (w1 ) * P ( w2 | w1 ) *  P ( wi | wi-2,i-1 ) i = 3 =  P (wi | wi-2,wi-1) i=1

9 Beispiel: Um ein Trigram-Modell zu erzeugen, wird in einem Trainingstext gezählt, welche Paare und Tripel von Wörtern wie oft auftreten. " Der Hund bellt und die Katze schläft. " < Der Hund > < Der Hund bellt > < Hund bellt > < Hund bellt und > < bellt und > < bellt und die > C (wi-2, i ) (Tripel) Pe (wi | wi-2, i-1 ) = C ( wi-2, i-1 )

10 Anwendung Das Problem der Spracherkennung lässt sich beschreiben als das Finden derjenigen Wortfolge w1,n, durch die P ( W1,n = w1,n | Lautfolge) maximiert wird. Unter Anwendung der Bayesschen Regel lässt sich das Problem in zwei Teile zerlegen, in die Wahrscheinlichkeitsverteilung einzelner Lautfolgen (z.B. im Deutschen) und in die Wahrscheinlichkeitsverteilung einzelner Wortformen (sog. Sprachmodell ) : P (w1,n ) * P ( Lautfolge | w1,n ) P ( w1,n | Lautfolge ) = P ( Lautfolge ) Da der Nenner für alle w1,n gleich bleibt, muss nur der Zähler maximiert werden.

11 Markov Modelle Es sei X = ( X1, ... , XT ) eine Folge von Zufallsvariablen mit Werten in einer endlichen Menge S = { S1, ... , SN } , dem Zustandsraum. X ist eine Markov-Kette oder ein Markov-Modell, wenn die folgenden Markov-Eigenschaften erfüllt sind: Abhängigkeit vom vorherigen Zustand P ( Xt+1 = Sk | X1, ... , Xt ) = P ( Xt+1 = Sk | Xt ) Zeitinvarianz P ( Xt+1 = Sk | X1 , ... , Xt ) = P ( X2 = Sk | X1 )

12 Als Darstellung wird gewöhnlich ein (nichtdeterministischer ) endlicher Automat gewählt,
bei dem die Kanten mit Übergangswahrscheinlichkeiten gekennzeichnet sind. (Alle ausgehenden Kanten eines Knotens summieren sich zu 1). Wird bei einem Markov-Modell nicht nur der vorangehende Zustand, sondern m Zustände zur Vorhersage des nächsten Zustands verwendet, spricht man von einem Markov-Modell m-ter Ordnung. Jedes n-gram Modell ist äquivalent zu einem Markov-Modell (n-1)-ter Ordnung.

13 Versteckte Markov-Modelle (Hidden Markov Models )
Im Unterschied zu sichtbaren Markov-Modellen gelten für versteckte Markov-Modelle folgende Bedingungen: 1.) Die Übergänge von einem Knoten zum nächsten sind nicht sichtbar, lediglich die Wahrscheinlichkeit des Endzustandes ist bekannt. 2.) Einem Zustand können mehrere Übergänge mit demselben Symbol zugeordnet sein.

14 Ein HMM ist ein Quadrupel
< s1, S, W, E > mit S einer Menge von Zuständen. s1  S dem Anfangszustand des Modells W der Menge der Ausgangszeichen und E der Menge der Übergänge (edges), wobei jede Menge geordnet ist: S = < s1, s2, , s > W = < w1, w2, , w > E = < e1, e2, , e >

15 Ein Übergang ist eine Quadrupel
< si, sj, wk, p > mit si  S dem Ausgangszustand, sj  S dem Endzustand wk  W dem Ausgangszeichen ( das von dem Modell akzeptiert oder generiert wird und p der Wahrscheinlichkeit des Übergangs . Wir schreiben einen Übergang: wk si sj (Ein Zustand a kann der Ausgangszustand für mehrere Übergänge sein, die dasselbe Ausgangssymbol haben, aber in verschiedene Endzustände übergehen.)

16 Die Wahrscheinlichkeit p eines Übergangs
wk si sj wk si sj p , ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem Zeitpunkt t das HMM das t-te Symbol wk ausgibt und in den ( t+1)-ten Zustand, sj , übergeht, wenn der t-te Zustand si war. wk si sj p =: p ( st+1 = sj , wt = wk | st = si ) = p ( sj, wk | si )

17 Die Wahrscheinlichkeit einer Folge w1,n
lässt sich nunmehr berechnen als die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Pfade durch das HMM, das diese Folge generieren könnte: p (w1,n) =  p ( w1,n , s1,n+1 ) s1,n+1

18 Ergänzende Literatur E.Charniak, Statistical Language Learning, MIT Press: Cambridge (Mass.) 1993 C. Manning und H.Schütze, Foundations of Statistical Natural Language Processing, MIT Press: Cambridge (Mass.) 1999 (32000) D.Juravsky, J.Martin, Speech and Language Processing: An Introduction to Natural Language Processing, Computational Linguistics and Speech Recognition, Prentice Hall: San Francisco 2000