Einführung in die Meteorologie - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre - Clemens Simmer Meteorologisches Institut Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn Sommersemester 2005 Wintersemester 2005/2006

IV Dynamik der Atmosphäre Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne Kinematik Divergenz und Rotation Massenerhaltung Stromlinien und Trajektorien Die Bewegungsgleichung Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte Navier-Stokes-Gleichung Skalenanalyse Zweidimensionale Windsysteme natürliches Koordinatensystem Gradientwind und andere Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

IV.1 Kinematik Die Kinematik befasst sich mit der Analyse und Struktur von Windfeldern unter Berücksichtigung der Massenerhaltung ohne Betrachtung der Ursachen (Kräfte). Windfelder lassen sich charakterisieren durch Divergenz Rotation Deformation

IV.1 Kinematik Divergenz Massenerhaltung und Kontinuitätsgleichung Rotation und Zirkulation Natürliches Koordinatensystem Stromlinien und Trajektorien

IV.1.1 Divergenz der Windgeschwindigkeit Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen- (Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft. Bei Beschränkung auf die horizontalen Windkomponenten wird der Zusammenhang zwischen Strömungsfeld und Divergenz unmittelbar deutlich. t=0 t=t1 x < 0 > 0 < 0

Beispiele zur Divergenz

Divergenz und Massenerhaltung (1) V,m,ρ=m/V Mi Ein Nettomassenfluss M durch die festen Volumenberandungen führt zu einer Massen- und damit Dichteänderung innerhalb des Volumens.

Divergenz und Massenerhaltung (2) x y z Δy Δz Δx Ein Würfel sei ausgerichtet parallel zu den Koordinatenachsen

Divergenz und Massenerhaltung (3) x y z Δy Δz Δx analog für die zwei anderen Richtungen, also insgesamt: Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung)

Eulersche und Lagrangesche Kontinuitätsgleichung Advektionsgleichung für ρ: Eulersche Kont‘gleichung: Umrechnung: Lagrangesche Kont‘gleichung

Sonderfall: Inkompressibles Medium Ist ein Medium inkompressibel, so kann man es weder zusammen-pressen noch auseinander ziehen. Dabei kann es durchaus seine Form verändern oder im Inneren inhomogen sein (veränderliche Dichte) Wasser ist mit guter Näherung inkompressibel. Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung als inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B. keine Ausdehnung beim Aufsteigen Unendliche Schallgeschwindigkeit Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der Beschreibung der Strömungsprozesse bei geringen Vertikalauslenkungen, z.B. in der Grenzschicht. Es gilt dann offensichtlich:

Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit Wenn wir annähernd Inkompressibilität annehmen können, dann folgt aus dem Zusammenströmen von Luft z.B. in der Horizontalen (horizontale Konvergenz), dass die Luft in vertikaler Richtung ausweichen muss. Geschieht die horizonale Konvergenz am Boden, so muss die Luft durch Aufsteigen nach oben ausweichen. bodennahe horizontale Konvergenz erzwingt Aufsteigen darüber. bodennahe horizontale Divergenz erzwingt Absteigen darüber. Gehen wir weiter von stationären Verhältnissen aus (∂/∂t=0), und dass w sich nur vertikal verändert (∂z→dz), so kann man die Gleichung integrieren.

Kont‘gleichung im p-Koordinatensystem Bei großskaligen Bewegungen, bei denen die statische Grundgleichung annähernd gilt, wird als Vertikalkoordinate anstatt der z-Koordinate oft der Druck p genommen. Neben offensichtlichen Nachteilen (Veränderlichkeit) hat das p-Koordinatensystem aber den großen Vorteil, dass die Kontinuitätsgleichung besonders einfach aussieht. Zur Ableitung betrachtet man die Änderung eines Volumens V (jetzt nicht starr) durch die Luftbewegung: Für die Massenänderung gilt unmittelbar: Dann gilt der Zusammenhang von letzter Seite formal ohne Annahme der Inkompressibilität!

Beispiel: Aufsteigen in Tiefs und Absteigen in Hochs In Hochdruckgebieten ist der Windvektor leicht aus dem Hoch heraus gerichtet Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Hoch absinken In Tiefdruckgebieten ist der Windvektor leicht in das Tief hinein gerichtet Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Tief aufsteigen.

Konvergenz und Konfluenz Von Null verschiedene (3-dim) Konvergenz lässt ein Strömungsvolumen wachsen oder schrumpfen – die Dichte nimmt dabei ab bzw. zu. Bei zweidimensionaler Divergenz (z.B. horizontale Divergenz) gilt der Zusammenhang mit Dichteänderungen nicht unbedingt, da wir nicht wissen, was vertikal passiert. Konfluenz und Diffluenz (auch Richtungskonvergenz bzw. –divergenz) bezeichnen das Konvergieren oder Divergieren der Strömungs-richtungen (unabhängig von der Strömungsgeschindigkeit). Konfluente oder diffluente Strömungen können konvergent oder divergent sein! 2D-Strömung mit Konfluenz und Diffluenz, aber verschwindender Divergenz (angedeutet durch gleichbleibendes Volumen)

Horizontale Divergenz und Drucktendenz (∂p/∂t) Eine Druckzunahme in der Höhe z kann verursacht werden durch: Advektion von dichterer Luft in der Luft darüber horizontale Konvergenz in der Luft darüber Aufsteigen von Luft durch die Höhe z

Flächenmittel der horizontalen Divergenz und der Integralsatz von Gauss Bei Messungen, wie bei Modellen sind die Felder der meteorologischen Größen nicht überall bekannt, sondern entweder an den Messpunkten oder den Gitterpunkten des Modells. Die Berechnung der Divergenz benötigt aber formal ein kontinuierliches Feld, da der Nabla-Operator ein differentieller Operator ist. Tatsächlich interessiert aus verschiedenen Gründen meist oft nur die räumlich gemittlelte Divergenz eines Windfeldes. Der Integralsatz von Gauss (hier nur in 2 Dimensionen für die horizontale Divergenz) verbindet die differentielle Formulierung mit einer integralen Formulierung x y F ds .

Bestimmung der mittleren Divergenz bei kartesischen Gittern x y F a b c d Δx Δy Die seien Stationspositionen an denen der Wind gemessen wird. Man denkt sich ein Rechteck (gestrichelt), das die Stationen verbindet.

Übung zu IV.1.1 x y F a b c d Δx=100 km Δy=50 km 4 m/s, 60° 10 m/s 90° Bestimme die mittlere horizontale Divergenz für nebenstehende Beobachtungen Wie ändern sich die Werte, wenn wegen Messfehler tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist? Im Zentrum eines Tiefdruckgebietes sei der Vertikalwind in 2000 m Höhe 2 mm/s. Wie groß ist dort dann die mittlere horizontale Divergenz zwischen Boden und 2000 m unter Annahme inkompressibler Luft? Im Windfeld von 3. liege bei 2000 m die Unterkante einer Wolkenschicht. Es herrsche dort eine Temperatur von 10°C. Berechne die Niederschlagsmenge in mm/h unter der Annahme, dass alles beim Aufsteigen kondensierende Wasser sofort ausfällt (der Sättigungsdampfdruck von Wasser bei 10°C ist 12,2 hPa; die Gaskonstante von Wasserdampf ist 461 J/(kg K)).

IV.1.2 Rotation und Zirkulation rot-Operator absolute und relative Geschwindigkeit Zirkulation als integrales Maß der Rotation Vorticity natürliches Koordinatensystem Zusammenhänge zwischen Vertikalgeschwindigkeit, Divergenz und Vorticity

Rotation eines Vektorfeldes - Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor - Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 und hängen u und v nur von x und y ab (keine Änderung mit der Höhe), dann gilt offensichtlich: x y . Offensichtlich ist die Rotation aus der Zeichenebene zum Be-obachter gerichtet. Sie wird als zyklonal (Zyklone!) bezeichnet. Die Rotation ist ein achsialer Vektor. Da die Luftströmung i.w. horizontal ist hat ς eine besondere Bedeutung in der Meteorologie.

Beispiele L/4 L/2

Absolute und Relative Geschwindigkeit Wir unterscheiden zwischen der Geschwindigkeit, die die Luft relativ zur Erde hat (relative Geschwindigkeit v), und der Geschwindigkeit, die die Luft relativ zu einem Intertialsystem hat (absolute Geschwindigkeit va). Diese Unterscheidung ist wichtig, da nur für letztere das 2. Newtonsche Axiom (Kraft = Masse x Beschleunigung) gilt. Die ruhende (relativ zur Erde) Luft hat durch die Erddrehung eine absolute Geschwindigkeit. Die Operatoren sind über räumliche Ableitungen definiert. Offensichtlich kann sich auch der Operator ändern, wenn man von einem Bezugssystem zum anderen geht.

Mitführungsgeschwindigkeit der Erde Wir vernachlässigen die Jahresbahn der Erde um die Sonne (Erde dreht sich nur um sich selbst). Ein auf der Erde ruhender Punkt beschreibt dann im Absolutsystem (Inertialsystem) eine Kreisbahn. Eine Kreisbahn ist immer eine beschleunigte Bewegung, da sich ständig die Richtung ändert. Die Geschwindigkeit des Punktes auf der Kreisbahn ist die Mitführungsgeschwindig-keit; sie ist von der Breite abhängig ds=Rdλ dλ R R R=r cosφ φ r λ

Rotation der Absolutgeschwindigkeit Für die Absolutgeschwindigkeit eines sich auf der Erde bewegenden Teilchens gilt: Für die Rotation gilt: Weiter gilt für die z-Komponente der Rotation

Vorticity und Coriolisparameter f ist der Teil der Rotation, der durch die Erddrehung erzeugt wird (NH positiv, SH negativ). Ist der Drehsinn der Relativbewegung wie der der Erde, nennt man das zyklonal. Zyklonal heißt also: auf der NH: gegen Uhrzeigersinn, ς positiv auf der SH: im Uhrzeigersinn, ς negativ. Die absolute Vorticity ist regional eine Erhaltungsgröße (Drehimpuls) und bestimmt so entscheidend die Wirbelstruktur der großräumigen atmosphärischen Bewegung mit. Pol Äquator

Vorticity und Zirkulation So wie die Divergenz als differentieller Operator durch den Gaussschen Satz ein integrales Äquivalent in D durch den Fluss über den Rand eines Gebietes hat, so hat auch die Rotation (Vorticity) als differentieller Operator ebenfalls ein integrales Äquivalent in der Rotation C durch den Stokesschen Satz: F L(F) α Zur Berechnung des Flächenintegrals der Rotation genügt also der Wind auf dem Rand des Gebietes. Dies ist schwieriger zu verstehen als der Gausssche Satz.

Vorticity und Zirkulation Herrscht im Inneren der Fläche eine andere Drehrichtung (Rotation) als auf dem Rand, so wird diese bezüglich der Rotation überkompensiert durch die umso stärkere Schervorticity in der Nähe des Randes.

Vorticity und Zirkulation - horizontal - Letztere Beziehung gibt uns eine Vorschrift zur Berechnung der Vorticity aus endlich voneinander entfernten Messungen.

Vorticity bei Kreisbewegung in der Ebene Bei Kreisbewegung in der Ebene ist die Vorticity identisch mit der zweifachen Winkelgeschwindigkeit der Strömung um das Zentrum.

Natürliches Koordinatensystem Zur Untersuchung von Strömungen ist es oft nützlich anstatt des starren und ortsfesten kartesischen Koordinatensystem ein System zu verwenden, dass an die Strömung selbst gebunden ist. Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt aus einer beliebigen Strömung, so lässt sich dieser als ein Teil eines Kreisbogens auffassen. Ein geeignetes Koordinatensystem mit dann nur noch zwei Achsen wird dann festgelegt durch Einheitsvektoren in Richtung des a) Windrichtungsvektors b) Vektors parallel zur Richtung des hypothetischen Kreismittelpunktes

Krümmungs- und Scherungsvorticity (a) Das natürliche Koordinatensystem erlaubt eine formale Trennung zwischen Krümmungs- und Scherungsvorticity: Berechnung der Zirkulation und Vorticity über den schraffierten Bereich: Δ

Krümmungs- und Scherungsvorticity (b) Scherungsvorticity Krümmungsvorticity

Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung Bezeichnungen: p*=p0-p ω*=-ω=-dp/dt~w Positive Divergenz vom Boden bis ca. 160 hPa vom Boden ist mit zunehmendem Absinken verbunden. Bis 350 hPa herrscht Konvergenz; das Absinken muss schwächer werden. Darüber herrscht wieder Divergenz und das Absteigen verstärkt sich wieder. typischer Verlauf in der Passatregion

Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung (wie vorher) und der Vorticity über die Vorticitygleichung Die Vorticitygleichung verbindet zunehmende Vorticity mit Konvergenz und abnehmende Vorticity mit Divergenz (Piruetteneffekt) Typischer Verlauf in ITCZ

Gemessene Konvergenzen des horizontalen Windes in den unteren 800 m während unterschiedlicher Stadien von tropischen Störungen in der ITCZ. Diese sind bis auf das Zerfallstadium immer mit bodennahen Konvergenzen verbunden.

Übungen zu IV.1.2 Schätze die Zirkulation und die relative Vorticity des Horizontalwindes für ein Gebiet mit 100 km Süd-Nord und 50 km Ost-West-Erstreckung ab, bei dem an den zentralen Punkten der West-, Süd-, Ost-, bzw. Nordseite folgende Windmessungen vorliegen: Ostwind mit 10 m/s, Nordnordostwind mit 9 m/s, Nordostwind mit 10 m/s, bzw. Ostnordostwind mit 9 m/s. Vergleiche den erhaltenen Wert für die relative Vorticity mit der Vorticity der Erddrehung. Wie ändern sich die Werte, wenn tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist? Skizziere das Windfeld u=-y, v=x, w=0 und berechne seine Divergenz und Rotation. Diskutiere die Ergebnisse.

IV.1.3 Stromlinien und Trajektorien Stromlinien sind Momentaufnahmen eines Geschwindigkeitsfeldes. An jedem Punkt bewegt sich zu diesem Zeitpunkt die Luft parallel zu den Stromlinien. Trajektorien repräsentieren den Weg eines Teilchens über eine Zeitspanne

Beispiel für Stromlinien über Westafrika Eine Stromlinie ist eine Kurve, deren Tangente an jedem Punkt die Richtung des Geschwindigkeits-vektors angibt: Für eine Stromlinie in der x-y-Ebene gilt: v u Bei divergenzfreier Strömung ist die Dichte der Stromlinien proportional zu dem Betrag der Geschwindigkeit (Beispiel: die Isobaren sind die Stromlinien des geostrophischen Windes). Frage: Ist der geostrophische Wind divergenzfrei?

Trajektorienberechnungen für verschiedene Zeiten für das Reaktorunglück bei Tschernobyl am 26.4.1986. Trajektorien berechnet man durch Integration der folgenden Gleichungen über die Zeit

Beispiel: Stromlinien Trajektorie Die Trajektorie hat hier eine größere Amplitude (da c<U angenommen wurde) und eine längere Wellenlänge (dito). In der Abbildung wurden x und y mit λ normiert, U=A und c=0,3U gesetzt.

Übungen zu IV.1.3 Gegeben ist ein horizontales Windfeld mit u = uo, v = vo cos(2 πx/L) mit uo=10 m/s, vo=5 m/s und L=1000 km (Wellenlänge). Berechne für dieses Feld die Rotation und die Divergenz. Bestimme die Gleichung für die Stromlinie und Trajektorie, die durch (x,y)=(0,0) führt. Die Temperatur nimmt von einem bestimmten Ort in der Atmosphäre gegen Westen um 0.1 K ab, der Wind weht aus West mit 10 m/s. Wie groß ist die Temperaturänderung am besagten Ort, falls die Luftpakete auf ihrem Weg ihre Temperatur beibehalten? Wie groß ist sie, falls sich durch Strahlung und andere Effekte die Temperatur der bewegten Luftpakete pro Kilometer um 0.01 K erhöht.