Abstand Punkt – Ebene Gesucht ist der Abstand des Punktes 𝑅 zur Ebene 𝐸. Konstruiere eine Gerade 𝑔 senkrecht zu 𝐸, auf der 𝑅 liegt. Verwende den Normalen- vektor von 𝐸 als Richtungsvektor für 𝑔 und 𝑅 für den Stützvektor. Dies liefert die Geradengleichung für 𝑔. Berechne nun den Schnittpunkt 𝑆 von 𝑔 mit 𝐸. Die Länge der Strecke 𝑅𝑆 ist dann der gesuchte Abstand von 𝑅 zu 𝐸.
Abstand Punkt – Ebene Die formale Umsetzung dieser Idee mündet in der Formel Dabei ist 𝑝 der Stützvektor von 𝐸 und 𝑟 der Ortsvektor des Punktes 𝑅. Den Einheitsnormalenvektor 𝑛 0 erhält man wie üblich durch 𝑛 0 = 𝑛 𝑛 , also indem man den Normalenvektor durch seine Länge teilt. 𝑑= ∣ 𝑟 − 𝑝 𝑛 0 ∣
Rechenbeispiel Bestimme den Abstand des Punktes 𝑅 3∣2∣1 zur Ebene 𝐸 mit 𝐸: 𝑥 − 1 −3 1 1 2 2 =0. Lösung: Bilde zunächst 𝑛 0 und setze 𝑛 0 und 𝑅 ein in die Abstandsformel: 𝑛 = 1 2 2 ⇒ 𝑛 0 = 𝑛 ∣ 𝑛 ∣ = 1 3 1 2 2 𝑑= 3 2 1 − 1 −3 1 1 3 1 2 2 = 2⋅ 1 3 +5⋅ 2 3 +0 = 12 3 =4 𝒓 𝒑 𝒏 𝟎
Abstand Punkt-Ebene mit der HNF Nun sei die Ebene 𝐸 in der HNF in Koordinatenschreibweise vorgegeben, also 𝐻𝑁𝐹 𝐸: 𝑛 1 𝑥 1 + 𝑛 2 𝑥 2 + 𝑛 3 𝑥 3 −𝑑 𝑛 1 2 + 𝑛 2 2 + 𝑛 3 2 =0. Dann kann man den Abstand eines Punktes 𝑅 𝑎 𝑏 𝑐 von der Ebene 𝐸 einfach durch Einsetzen der Koordinaten von 𝑅 berechnen. Es gilt: 𝑑 𝑅,𝐸 = 𝑛 1 𝑎+ 𝑛 2 𝑏+ 𝑛 3 𝑐−𝑑 𝑛 1 2 + 𝑛 2 2 + 𝑛 3 2
Rechenbeispiel Bestimme den Abstand zwischen 𝐸: 𝑥 1 − 2𝑥 2 + 4𝑥 3 =1 und dem Punkt 𝑅 1∣6∣2 .
𝐸: 𝑥 1 − 2𝑥 2 + 4𝑥 3 =1 𝑅 1∣6∣2 Lösung Wandle zunächst um in die Hesse‘sche Normalenform. Hierfür brauchen wir die Länge des Normalenvektors 𝑛 = 1 −2 4 . Sie ergibt sich durch ∣ 𝑛 ∣= 1 2 + −2 2 + 4 2 = 21 . Somit haben wir 𝐻𝑁𝐹 𝐸: 𝑥 1 − 2𝑥 2 + 4𝑥 3 −1 21 =0. Für 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 setzen wir nun die Koordinaten von 𝑅 ein, bilden im Zähler den Betrag und erhalten den Abstand: 𝑑= 1−2⋅6+4⋅2−1 21 = 4 21 ≈0,87
Aufgabe Bestimme den Abstand zwischen 𝐸: 2 2 𝑥 1 + 5𝑥 2 + 4𝑥 3 =1 und dem Punkt 𝑅 2 ∣4∣3 . Lösung: Mit 𝑛 = 2 2 5 4 folgt ∣ 𝑛 ∣= 8+25+16 = 49 =7. Somit haben wir 𝐻𝑁𝐹 𝐸: 2 2 𝑥 1 +5 𝑥 2 + 4𝑥 3 −1 7 =0. 𝑅 einsetzen liefert: 𝑑= 2 2 ⋅ 2 +5⋅4+4⋅3−1 7 = 35 7 =5