Kapitel V. Determinanten Inhalt: Alternierende Formen Permutationen Determinanten Lineare Gleichungssysteme Anwendungen
§ 26 Inhaltsmessung von Parallelogrammen In diesem Paragrafen soll die Einführung der Determinante über einen geometrischen Ansatz motiviert werden. Es geht um die Eigenschaften des Flächeninhalts von Parallelogrammen in der euklidischen Ebene. Die Ebene wird durch R2 repräsentiert, ein Parallelogramm wird durch 2 Vektoren gegeben: Wir bezeichnen mit F(v,w) die Fläche von dem von v und w aufgespannten Parallelogramm P. w v P Dabei soll F(v,w) gerichtet sein, insofern, als F(v,w) = -F(w,v) gilt. Zum Beispiel: F(v,w) positiv, wenn v vor w im Gegenuhrzeigersinn.
Kapitel V, §26 Elementargeometrische Überlegungen zeigen: F(v + u,w) = F(v,w) + F(u,w) w v P u Und ebenso: F(v,w + z) = F(v,w) + F(v,z) Weiterhin: F(v,sw) = sF(v,w) = F(sv,w) für positive s . w v -v Schließlich: F(-v,w) = -F(v,w) = F(v,-w)
Kapitel V, §26 Insgesamt: F ist bilinear und alternierend, dh. F(v,w) = -F(w,v) Daher: F(v,w) = F11v1w1 + F21v2w1 + F12v1w2 + F22v2w2 mit F11 = 0 = F22 und F12 = - F21 , weil F alternierend. Daher gilt F(v,w) = s(v1w2 – v2w1) mit einer Konstanten s . Mit der Festlegung F(e1,e2) = 1 (Normierung von F, so dass das Ein-heitsquadrat den Flächeninhalt 1 erhält) wird diese Konstante zu 1 : F(v,w) = Δ(v1,w1,v2,w2) (vgl. §1) =: det(v,w) Die beiden Spaltenvektoren v,w lassen sich als die Spaltenvektoren von (2,2)-Matrizen A = (v,w) verstehen. Insofern definiert det eine Abbildung
Kapitel V, §26 Eigenschaften von det : (26.1) Satz: Für A aus R2x2 gilt: (26.2) Korollar: Für A aus R2x2: (26.3) Satz: Für A,B aus R2x2 : det (AB) = (det A)(det B) . (26.4) Satz von Cayley: Für A aus R2x2 ist wobei tr A := a + d (Spur von A) . (26.5) Satz: Für A,B,C aus R2x2 : 1o (AB –BA)2 = (det(AB –BA))E 2o (AB –BA)2C = C(AB –BA)2 . Im übrigen ist det auch bilinear in den Zeilenvektoren.