§19 Matrizen als lineare Abbildungen Natürlich sind Matrizen keine lineare Abbildungen. Was der Titel anspricht, ist die Aussage, dass jede Matrix unter Festschreibung von Basen eine lineare Abbildung definiert. Und umgekehrt: Ist f aus Hom(V,W) mit endlichdimensionalen K-Vektorräumen V und W, so bestimmt die Vorgabe von (geordneten) Basen in V und W eine Matrix, welche die Abbildung f vollständig beschreibt. (12.1) Definition: V sei ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Eine geordnete Basis von V ist ein n-Tupel (b1, b2, ... , bn) von Vektoren aus V, für das die Menge {bk : k = 1, 2, ... ,n} = {b1, b2, ... , bn} eine Basis bildet. Achtung: {b2, b1, b3, ... , bn} = {b1, b2, ... , bn} , aber in der Regel nicht (b2, b1, b3, ... , bn) = (b1, b2, ... , bn) .
Kapitel IV, §19 07.01.02 (19.2) Satz: Sei b = (b1, b2, ... , bn) eine geordnete Basis von V und sei c = (c1, c2, ... , cm) eine geordnete Basis von W. Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung f aus Hom(V,W) eine (m,n) Matrix ( = A(f) = A(f,b,c) ) mit für X aus V, Anders ausgedrückt: f(X) = Y hat bezüglich der geordneten Basis (c1, c2, ... , cm) die Komponenten Beweis: Die Koeffizienten bestimmen eine Matrix A, und es gilt: Bemerkung: Diese Matrix A = A(f) = A(f,b,c) heißt die zu f gehörige Matrix (in Bezug auf die geordneten Basen b und c). Umgekehrt:
Kapitel IV, §19 (19.3) Satz: Sei b = (b1, b2, ... , bn) eine geordnete Basis von V und sei c = (c1, c2, ... , cm) eine geordnete Basis von W. Jede (m,n)-Matrix definiert die linearen Abbildung f ( = f(A) = f(A,b,c) ) vermöge 19.12.01 für X aus V , (19.4) Spezialfall: Für V = Kn und W = Km mit den geordneten Standardbasen e = (e1, e2, ... ,en) und e = (e1, e2, ... , em) folgt: Jede (m,n)-Matrix definiert die lineare Abbildung f = f(A,e,e) durch (19.5) Satz: Sei b = (b1, b2, ... , bn) eine geordnete Basis von V und sei c = (c1, c2, ... , cm) eine geordnete Basis von W. Die natürliche Abbildung ist ein Isomorphismus von Vektorräumen. (19.6) Korollar: dim Hom(V,W) = (dim V)(dim W) .