Abstandsbestimmungen Abstand Punkt – Gerade Abstand paralleler Geraden Abstand Punkt – Ebene Abstand paralleler Ebenen Abstand windschiefer Geraden klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Abstand Punkt – Gerade Bestimmen Sie zuerst die Gleichung der Ebene 𝐸, welche orthogonal zu 𝑔 steht und den Punkt 𝑃 enthält. Hierfür brauchen Sie den Richtungsvektor von 𝑔, den Sie als Normalenvektor von 𝐸 verwenden.

Abstand Punkt – Gerade Mit dem Normalenvektor stellen Sie die Koordinaten- gleichung auf. 𝐸: 𝑛 1 𝑥 1 + 𝑛 2 𝑥 2 + 𝑛 3 𝑥 3 =𝑑 Da 𝑃 auf 𝐸 liegt können Sie die Koordinaten von 𝑃 für 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 einsetzen und erhalten 𝑑. Berechnen Sie den Schnittpunkt 𝑆 von 𝐸 mit 𝑔. Wenn 𝑔 in Parameterform gegeben ist, setzen Sie die Koordinaten einfach in 𝐸 ein und lösen nach dem Parameter 𝑡 auf. Diesen Wert setzen Sie wieder in 𝑔 ein und erhalten einen konkreten Wert für den Schnittpunkt 𝑆.

Abstand Punkt – Gerade Der Ausdruck 𝑑= ∣ 𝑃𝑆 ∣ = ∣ 𝑠 − 𝑝 ∣ liefert dann den Abstand zwischen den Punkten 𝑃 und 𝑆. Dies ist dann der gesuchte Abstand von 𝑃 zu 𝑔.

Rechenbeispiel Gegeben seien 𝑔: 𝑥 = 1 0 2 +𝑡 1 1 −4 ,𝑡∈ℝ, und 𝑃 4∣3∣−1 Bestimme den Abstand von 𝑃 zu 𝑔. Lösung: Bestimme Ebene 𝐸, senkrecht zu 𝑔. Der Richtungsvektor von 𝑔 ist der Normalenvektor von 𝐸. Das liefert: 𝐸: 𝑥 1 + 𝑥 2 − 4𝑥 3 =𝑑 𝑃 soll auf 𝐸 liegen. Setze also 𝑃 ein: 4+3−4⋅ −1 =11=𝑑 ⇒𝐸: 𝑥 1 + 𝑥 2 − 4𝑥 3 =11

𝑔: 𝑥 = 1 0 2 +𝑡 1 1 −4 Rechenbeispiel Ermittle den Schnittpunkt von 𝑔 und 𝐸. Nimm dazu die Koordinatengleichungen von 𝑔: 𝑥 1 =1+𝑡, 𝑥 2 =𝑡 und 𝑥 3 =2−4t Einsetzen in 𝐸: 1+𝑡 +𝑡−4 2−4t =11⇔18t−7=11⇔𝑡=1 𝑡 eingesetzt in 𝑔 liefert den Schnittpunkt: 𝑥 = 1 0 2 +1 1 1 −4 = 2 1 −2 ⇒ 𝑆 2∣1∣−2

𝑃 4∣3∣−1 𝑆 2∣1∣−2 Rechenbeispiel Der Abstand zwischen 𝑃 und 𝑆 ist dann der gesuchte Abstand zwischen 𝑃 und der Geraden 𝑔. Abstand zwischen 𝑃 und 𝑆: 𝑑= ∣ 𝑃𝑆 ∣ = 2 1 −2 − 4 3 −1 = −2 −2 −1 = −2 2 + −2 2 + −1 2 = 9 =3 Ergebnis: Der Abstand zwischen 𝑃 und 𝑆 beträgt 3 LE.

Abstand paralleler Geraden Wählen Sie einfach einen Punkt auf der einen Geraden (z.B. den Punkt der durch den Stützvektor beschrieben wird) und bestimmen dann den Abstand zur anderen Geraden mit dem soeben vorgestellten Verfahren.

Rechenbeispiel Bestimme den Abstand der folgenden beiden Geraden: 𝑔 1 : 𝑥 = 1 0 3 +𝑠 0 1 0 ,𝑠∈ℝ und 𝑔 2 : 𝑥 = 0 1 4 +𝑡 0 −1 0 ,𝑡∈ℝ Lösung: Wähle z.B. den Stützvektor von 𝑔 1 als denjenigen Punkt 𝑃 1 0 3 auf 𝑔 1 von dem aus wir den Abstand zu 𝑔 2 bestimmen. Als nächstes stellen wir wieder die Glei- chung der Ebene 𝐸 auf, welche senkrecht zu 𝑔 2 steht und 𝑃 enthält. Der Richtungsvektor von 𝑔 2 dient dabei als Normalenvektor für 𝐸.

Rechenbeispiel Es folgt 𝐸: 0𝑥 1 − 1𝑥 2 + 0𝑥 3 =𝑑. 𝑃 liegt auf 𝐸, also 0⋅1−1⋅0+0⋅3=0=𝑑. Die Gleichung für 𝐸 lautet daher: 𝐸:− 𝑥 2 =0. Jetzt berechnen wir wieder den Schnittpunkt von 𝑔 2 mit 𝐸, durch Einsetzen der Koordinaten von 𝑔 2 : − 1−𝑡 =0⇒𝑡=1 Der Schnittpunkt 𝑆 von 𝑔 2 mit 𝐸, ergibt sich durch Einsetzen von 𝑡 in 𝑔 2 : 𝑠 = 0 1 4 +1 0 −1 0 = 0 0 4 ⇒𝑆 0∣0∣4

Rechenbeispiel Der Abstand zwischen 𝑃 und 𝑆 ist dann der gesuchte Abstand zwischen den Geraden 𝑔 1 und 𝑔 2 . 𝑑= ∣ 𝑃𝑆 ∣ = 0 0 4 − 1 0 3 = −1 0 1 = −1 2 + 0 2 + 1 2 = 2 ≈1,41 Ergebnis: Der Abstand zwischen 𝑔 1 und 𝑔 2 beträgt 1,41 LE.