Einführung in die Differenzialrechnung mit dem „Freien Fall“ und der Geschwindigkeit

Wie ist Geschwindigkeit definiert? Denken wir an Geschwindigkeit, so fällt uns sofort Kilometer pro Stunde ein. Das ist auch gleich die Formel der Geschwindigkeit: 𝐺𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡= 𝑊𝑒𝑔𝑠𝑡𝑟𝑒𝑐𝑘𝑒 𝑍𝑒𝑖𝑡 𝑣= 𝑠 𝑡

Wie kann man ohne Tachometer auf der Autobahn die Geschwindigkeit messen?

Wie kann man ohne Tachometer auf der Autobahn die Geschwindigkeit messen? Na, ganz einfach – man schaut hinaus und sieht die Kilometersteine, die die Entfernung (von z.B. Wien) anzeigen. Dann muss man nur mehr die Zeit zwischen dem Vorbeifahren an zwei Kilometersteinen messen

Wie kann man ohne Tachometer auf der Autobahn die Geschwindigkeit messen? Das ergibt zum Beispiel: Kilometerstein 103 wird um 17:35 gesehen Kilometerstein 104 wird um 17:36 gesehen Die Geschwindigkeit ergibt sich daraus als Bruch: 𝐺𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡= 104−103 17:36−17:35 = 1 1 𝑘𝑚/𝑚𝑖𝑛 Wie viel ist das in km/h ? >

Wie kann man ohne Tachometer auf der Autobahn die Geschwindigkeit messen? Das ergibt zum Beispiel: Kilometerstein 103 wird um 17:35 gesehen Kilometerstein 104 wird um 17:36 gesehen Die Geschwindigkeit ergibt sich daraus als Bruch: 𝐺𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡= 104−103 17:36−17:35 = 1 1 𝑘𝑚/𝑚𝑖𝑛 Wie viel ist das in km/h ? 60 km/h zu langsam für die Autobahn!

Was ist die mittlere Geschwindigkeit? Daraus folgt die Definition der mittleren Geschwindigkeit – im Zeitintervall [ta; te] für die Wegabschnitte s(ta) und s(te) v [ta; te] = 𝑊𝑒𝑔𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧 𝑍𝑒𝑖𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧 = 𝑠 𝑡 𝑒 −𝑠( 𝑡 𝑎 ) 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎

Der „Freie Fall“ (=ohne Luftreibung) eines Steins wird mit folgender Tabelle gegeben: Zeit Wegstrecke 1 s 5 m 2s 20 m 3 s 45 m 4 s 80 m 5 s 125 m

Der „Freie Fall“ (=ohne Luftreibung) eines Steins wird mit folgender Tabelle gegeben: Wie kann man eine Formel für die Wegstrecke aufstellen? Zeit Wegstrecke 1 s 5 m 2s 20 m 3 s 45 m 4 s 80 m 5 s 125 m

Der „Freie Fall“ (=ohne Luftreibung) eines Steins wird mit folgender Tabelle gegeben: Wie kann man eine Formel für die Wegstrecke aufstellen? Dazu dividieren wir die Zahlen der Wegstrecke durch 5 Zeit Wegstrecke 1 s 5 m 2s 20 m 3 s 45 m 4 s 80 m 5 s 125 m

Der „Freie Fall“ (=ohne Luftreibung) eines Steins wird mit folgender Tabelle gegeben: Wie kann man eine Formel für die Wegstrecke aufstellen? Dazu dividieren wir die Zahlen der Wegstrecke durch 5 Zeit Wegstrecke durch 5 1 s 5 m 1 2s 20 m 4 3 s 45 m 9 4 s 80 m 16 5 s 125 m 25

Der „Freie Fall“ (=ohne Luftreibung) eines Steins wird mit folgender Tabelle gegeben: Nun sieht man, dass die neuen Zahlen die Quadrate der Zeiten (also t²) sind, daher ergibt sich die Formel für die Wegstrecke: Zeit Wegstrecke durch 5 1 s 5 m 1 2s 20 m 4 3 s 45 m 9 4 s 80 m 16 5 s 125 m 25

Der „Freie Fall“ (=ohne Luftreibung) eines Steins wird mit folgender Tabelle gegeben: Die Formel für die Wegstrecke ist: s(t) = 5*t² Zeit Wegstrecke durch 5 1 s 5 m 1 2s 20 m 4 3 s 45 m 9 4 s 80 m 16 5 s 125 m 25

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit Zeit Wegstrecke 1 s 5 m 2s 20 m 3 s 45 m 4 s 80 m 5 s 125 m Wir wollen die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [2;4] bestimmen. Dazu müssen wir die Wegdifferenz durch die Zeitdifferenz dividieren:

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit Zeit Wegstrecke durch 5 1 s 5 m 1 2s 20 m 4 3 s 45 m 9 4 s 80 m 16 5 s 125 m 25 Wir wollen die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [2;4] bestimmen. Dazu müssen wir die Wegdifferenz durch die Zeitdifferenz dividieren: 𝑣 2;4 = 𝑠 4 −𝑠(2) 4−2 = 80−20 4−2 = 60 2 =30 𝑚/𝑠

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit allgemein 𝑣 2;4 = 𝑠 4 −𝑠(2) 4−2 = 80−20 4−2 = 60 2 =30 𝑚/𝑠 Dazu ersetzen wir nur die konkreten Zahlen für die Zeit (2 und 4) durch die Buchstaben a und e (für Anfangszeit und Endzeit)

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit allgemein 𝑣 2;4 = 𝑠 4 −𝑠(2) 4−2 = 80−20 4−2 = 60 2 =30 𝑚/𝑠 Dazu ersetzen wir nur die konkreten Zahlen für die Zeit (2 und 4) durch die Buchstaben ta und te (für Anfangszeit und Endzeit) Und außerdem die Strecken durch die Formel s(t) = 5*t²

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit allgemein 𝑣 2;4 = 𝑠 4 −𝑠(2) 4−2 = 80−20 4−2 = 60 2 =30 𝑚/𝑠 Dazu ersetzen wir nur die konkreten Zahlen für die Zeit (2 und 4) durch die Buchstaben ta und te (für Anfangszeit und Endzeit) Und außerdem die Strecken durch die Formel s(t) = 5*t² 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 = 𝑠 𝑡 𝑒 −𝑠( 𝑡 𝑎 ) 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 = 5∗ 𝑡 𝑒 2 −5∗ 𝑡 𝑎 2 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit allgemein 𝑣 2;4 = 𝑠 4 −𝑠(2) 4−2 = 80−20 4−2 = 60 2 =30 𝑚/𝑠 Dazu ersetzen wir nur die konkreten Zahlen für die Zeit (2 und 4) durch die Buchstaben ta und te (für Anfangszeit und Endzeit) Und außerdem die Strecken durch die Formel s(t) = 5*t² 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 = 𝑠 𝑡 𝑒 −𝑠( 𝑡 𝑎 ) 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 = 5∗ 𝑡 𝑒 2 −5∗ 𝑡 𝑎 2 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 Wie können wir das noch vereinfachen?

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit allgemein 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 = 𝑠 𝑡 𝑒 −𝑠( 𝑡 𝑎 ) 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 = 5∗ 𝑡 𝑒 2 −5∗ 𝑡 𝑎 2 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit allgemein 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 = 𝑠 𝑡 𝑒 −𝑠( 𝑡 𝑎 ) 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 = 5∗ 𝑡 𝑒 2 −5∗ 𝑡 𝑎 2 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 Dazu werden wir 5 herausheben 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 = 5∗ (𝑡 𝑒 2 − 𝑡 𝑎 2 ) 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit allgemein 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 = 𝑠 𝑡 𝑒 −𝑠( 𝑡 𝑎 ) 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 = 5∗ 𝑡 𝑒 2 −5∗ 𝑡 𝑎 2 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 Dazu werden wir 5 herausheben 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 = 5∗ (𝑡 𝑒 2 − 𝑡 𝑎 2 ) 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 Und die binomische Formel benutzen: 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 = 5∗ 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 ∗ (𝑡 𝑒 + 𝑡 𝑎 ) 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit allgemein 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 = 𝑠 𝑡 𝑒 −𝑠( 𝑡 𝑎 ) 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 = 5∗ 𝑡 𝑒 2 −5∗ 𝑡 𝑎 2 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 Dazu werden wir 5 herausheben 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 = 5∗ (𝑡 𝑒 2 − 𝑡 𝑎 2 ) 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 Und die binomische Formel benutzen: 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 = 5∗ 𝑡 𝑒 − 𝑡 𝑎 ∗ (𝑡 𝑒 + 𝑡 𝑎 ) t e − t a Und dann kürzen: 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 =5∗ (𝑡 𝑒 + 𝑡 𝑎 )

Momentane Fallgeschwindigkeit Mit der Formel der mittleren Geschwindigkeit 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 =5∗ (𝑡 𝑒 + 𝑡 𝑎 ) können wir nun auch die momentane Geschwindigkeit berechnen.

Momentane Fallgeschwindigkeit Mit der Formel der mittleren Geschwindigkeit 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 =5∗ (𝑡 𝑒 + 𝑡 𝑎 ) können wir nun auch die momentane Geschwindigkeit berechnen. Dazu brauchen wir nur mehr den Wert des Endzeitpunktes te immer näher an den Anfangszeitpunkt ta annähern (in der Mathematik ist das der LIMES=Grenzwert)

Momentane Fallgeschwindigkeit Mit der Formel der mittleren Geschwindigkeit 𝑣 𝑡 𝑎 ; 𝑡 𝑒 =5∗ (𝑡 𝑒 + 𝑡 𝑎 ) können wir nun auch die momentane Geschwindigkeit berechnen. Dazu brauchen wir nur mehr den Wert des Endzeitpunktes te immer näher an den Anfangszeitpunkt ta annähern (in der Mathematik ist das der LIMES=Grenzwert) 𝑣 𝑡 𝑎 = lim 𝑒→𝑎 5∗ 𝑡 𝑒 + 𝑡 𝑎 =5∗ 𝑡 𝑎 + 𝑡 𝑎 =10∗ 𝑡 𝑎

Momentane Fallgeschwindigkeit ist die Formel für die momentane Fallgeschwindigkeit zum Zeitpunkt a

Momentane Fallgeschwindigkeit 𝑣 𝑡 𝑎 =10 𝑡 𝑎 ist die Formel für die momentane Fallgeschwindigkeit zum Zeitpunkt 𝑡 𝑎 Berechnet man damit die Geschwindigkeit des fallenden Steins nach 2 Sekunden, so ergibt sich v(2) = 10∙2 = 20 m/s Mit 3,6 multipliziert ergibt das v(2) = 72 km/h

Momentane Fallgeschwindigkeit 𝑣 𝑡 𝑎 =10 𝑡 𝑎 ist die Formel für die momentane Fallgeschwindigkeit zum Zeitpunkt 𝑡 𝑎 Berechnet man damit die Geschwindigkeit des fallenden Steins nach 2 Sekunden, so ergibt sich v(2) = 10∙2 = 20 m/s Mit 3,6 multipliziert ergibt das v(2) = 72 km/h Dasselbe für die Zeit t=4 ergibt v(4) = 10∙4 = 40 m/s = 1440 km/h

Was haben wir getan?

Was haben wir getan? Wir haben aus der Formel der Fallbewegung s(t) = 5*t² die Geschwindigkeit v(t) = 10*t hergeleitet. Können wir das jetzt auch für andere Formeln machen?

Was haben wir getan? Wir haben aus der Formel der Fallbewegung s(t) = 5*t² die Geschwindigkeit v(t) = 10*t hergeleitet. Können wir das jetzt auch für andere Formeln machen? Ja – dazu machen wir eine Tabelle:

Tabelle der Geschwindigkeiten Typ Wegfunktion Geschwindigkeit Stehen in 3m Entfernung s(t) = 3 v(t) = 0 Gehen mit 2 m/s s(t) = 2t v(t) = 2 Fallen s(t) = 5t² v(t) = 10t Beschleunigen s(t) = t³ v(t) = 3t² Allgemein s(t) = a*tn v(t) = a*n*tn−1

Und wie geht es weiter?

Und wie geht es weiter? Jetzt können wir das Thema Geschwindigkeit auf allgemeine Funktionen erweitern: Dann sind die Funktionen f(x) = x²

Und wie geht es weiter? Jetzt können wir das Thema Geschwindigkeit auf allgemeine Funktionen erweitern: Dann sind die Funktionen f(x) = x² und die „Geschwindigkeiten“ f‘(x) = 2x

Und wie geht es weiter? Jetzt können wir das Thema Geschwindigkeit auf allgemeine Funktionen erweitern: Dann sind die Funktionen f(x) = x² und die „Geschwindigkeiten“ f‘(x) = 2x Und heißen: momentane Änderungsrate

Und wie geht es weiter? Jetzt können wir das Thema Geschwindigkeit auf allgemeine Funktionen erweitern: Dann sind die Funktionen f(x) = x² und die „Geschwindigkeiten“ f‘(x) = 2x Und heißen: momentane Änderungsrate oder: 1.Ableitung

Und wie geht es weiter? Jetzt können wir das Thema Geschwindigkeit auf allgemeine Funktionen erweitern: Dann sind die Funktionen f(x) = x² und die „Geschwindigkeiten“ f‘(x) = 2x Und heißen: momentane Änderungsrate oder: 1.Ableitung oder: Differenzialquotient lim 𝑒→𝑎 𝑓 𝑒 −𝑓(𝑎) 𝑒−𝑎

Und wie geht es dann weiter?

Und wie geht es dann weiter? Dann kommen die Ableitungsregeln

Und wie geht es dann weiter? Dann kommen die Ableitungsregeln Und die grafische Betrachtung (Steigung)

Und wie geht es dann weiter? Dann kommen die Ableitungsregeln Und die grafische Betrachtung (Steigung) Und viele viele Beispiele und Anwendungen (Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben, Wirtschaftsfunktionen, physikalische…)

Und wie geht es dann weiter? Dann kommen die Ableitungsregeln Und die grafische Betrachtung (Steigung) Und viele viele Beispiele und Anwendungen (Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben, Wirtschaftsfunktionen, physikalische…) UND DAS WAR ES! (Liebe Grüße von Manfred)