Logik in der Informatik IV

Präsentation zum Thema: "Logik in der Informatik IV"—  Präsentation transkript:

1 Logik in der Informatik IV
Michael Schenke | Logik in der Informatik 01/12/18 | Seite 1

2 Inhalt Temporale Logik Metrische Temporale Logik
Intervall Temporale Logik Duration Calculus

3 Temporale Logik Zeitliche Abläufe

4 IV. Temporale Logik Betrachtung potentiell unendlicher Abläufe
Explizite Rechnungen mit der Zeit sollen vermieden werden. Einführung von Temporal-Operatoren Anwendung bei der Verifikation von Realzeit-Systemen

5 IV. Temporale Logik Temporale Modal-Operatoren
F p : „p wird sein“ (Zukunft) G p : „p wird immer sein“ (Generalisierung davon) P p : „p war einmal“ (Vergangenheit) H p : „p war immer“ (Generalisierung davon)

6 IV. Temporale Logik Minimal Tense Logik (MTL)
Axiome von MTL (Übernahme aus T) A1 −A4 (für AL) G p→q → Gp→Gq H p→q → Hp→Hq p Gp , p Hp Dazu Modus Ponens und Formelsubstitution, nicht jedoch Gp → p oder Hp → p

7 IV. Temporale Logik Minimal Tense Logik (MTL)
Axiome über T hinaus: p  H F p Fp Fp Fp p t p  G P p p Pp Pp Pp t Temporales S4: Gp  GGp Hp  HHp

8 IV. Temporale Logik Minimal Tense Logik (MTL)
Beispiel: Seien T= ℝ + 0 und R die<−Relation Behauptung: Es gilt Gq  GGq Sei tT. Es gelte M,t ⊨Gq Daher F.a. t‘T mit tt‘ gilt M,t′ ⊨q Sei t‘‘T mit t‘t‘‘. Dann gilt tt‘‘, folglich gilt M,t′′ ⊨q. Daher gilt M,t′ ⊨Gq. Also gilt M,t ⊨GGq für alle Zeitpunkte t. Also gilt auch M⊨Gq →GGq.

9 IV. Temporale Logik Minimal Tense Logik (MTL)
Beispiel Ampelschaltung: Voraussetzung:r →F ge und ge →F gr Durch Formelsubstitution: r→F F gr Durch temporales S4: r→F gr In manchen Systemen gilt Temporales S5: Fq  GFq ◊q  □◊q Pq  HPq

10 IV. Temporale Logik a until b
M,t ⊨ a until b ⟺ ∃ t′ : t <t′ : M,t′ ⊨ b und f.a. t′′ mit t< t ′′ < t ′ :M, t ′′ ⊨a a since b (analog für die Vergangenheit) ◊b  true until b (◊p = p  Fp) a unless b  a until b oder □a Für diskrete Zeit sei „O“ der next- Operator. M,t ⊨Oa ⟺f.a. t ′ ∈succ t :M, t ′ ⊨a □a  a  O(□a)

11 Metrische Temporale Logik
Die Zeit wird meßbar

12 V. Metrische Temporale Logik
Allgemein: □5 p //p gilt immer in den nächsten 5 Sekunden ◊5 p //p gilt irgendwann in den nächsten 5 Sekunden M,t ⊨ □5 p ⟺ F.a. t′ mit t ≤ t ′ ≤ t+5 : M, t ′ ⊨ p M,t ⊨ ◊5 p ⇔ Ex. t′ mit t ≤ t′ ≤ t+5 : M,t′ ⊨p □a □b p  □a+b p ◊a ◊b p  ◊a+b p

13 Intervall Temporale Logik
Beobachtung von Zeitintervallen

14 VI. Intervall Temporale Logik
Mögliche Welten sind Intervalle M,I ⊨p ⟺ … Zwei Arten von Variablen Globale Variablen Temporale Variablen Modalitäten □, ◊, l (für Länge), ; (chop, Zerlegung des Intervalls) Junktoren

15 VI. Intervall Temporale Logik Syntax
Terme: GV, TV, l, f(t1,…,tn) Formeln: p(t1,…,tn), l =x, ¬ F, F∧G, F;G, xF Die klassischen Modalitäten sind abgeleitet: ⋄F = true ; F ; true F true true □F = ¬⋄¬ F b: Beginn m: Mitte e: Ende

16 VI. Intervall Temporale Logik Semantik
M,σ,I ⊨ v ⟺ σ I,v = 1 M,σ,I ⊨ F ∧ G ⟺ M,σ,I ⊨ F und M,σ,I ⊨ G M,σ,I ⊨ ¬F ⟺ M,σ,I ⊨ F gilt nicht M,σ,I ⊨ F ; G ⟺ Ex. b,m,e : I = b,e , m ∈ I : M,σ,[b,m] ⊨ F, M,σ, m,e ⊨ G M,σ,I ⊨ ℓ = x ⟺ I = b,e ∧ e−b = x Alle anderen Bestandteile können mit Hilfe des Extensionalitätsprinzips errechnet werden.

17 VI. Intervall Temporale Logik
ITL ist eine S4-Logik. Außerdem gelten ℓ = x;ℓ = y ⟺ ℓ = x+y Gesetze für chop: (F ; G) ; H ⟺ F ; (G ; H) Assoziativgesetz ℓ=0;F ⟺ F ⟺ F;ℓ=0 Einselement false;F ⟺ false ⟺ F;false Nullelement □ F1 ∧ F2;F3 => (□ F1 ∧ F2); (□ F1 ∧ F3).

18 Intervall-Logik für Echtzeitsysteme
Duration Calculus Intervall-Logik für Echtzeitsysteme

19 Duration Calculus (Zhou Chao Chen)
VII. Duration Calculus Beispiel: In jedem Intervall der Länge 1 Min, soll höchstens für 5 Sek Gas ausströmen. Duration Calculus (Zhou Chao Chen) Schaffe Temporale Variablen ab, führe Menge ZV von Zustandsvariablen ein σ: ZV x ℝ ⟶𝔹 Führe neue Modalität ein:  Damit würde aus der obigen Forderung: ℓ ≥60 ⟶ ∫Gas ≤5

20 VII. Duration Calculus σ:ZV x ℝ ⟶𝔹 Zustandsvariablen: ZV
Zustandsausdrücke: ZA ZV ¬ZA, ZA1 ∧ZA2, ZA1∨ZA2 Formeln: A (Zustandsausdruck) ℓ op exp (op Vergleichsoperator, exp arithm. Ausdruck) F1, F1  F2, F1 F2

21 VII. Duration Calculus für Formeln: Semantik: für Zustandsabbildung σ
σ ¬z,t =1 −σ z,t σ F1 ∧ F2, t = min (σ F1,t ,σ F2,t ) σ F1  F2, t = max (Z σ1,t ,σ F2,t ) für Formeln: M(F)(σ,I) = I σ(F,t)dt ℓ op exp und F1, F1  F2, F1 F2 werden gemäß dem Extensionalitätsprinzip errechnet.

22 VII. Duration Calculus Definition ⌈F⌉ M,I ⊨ F ⟺∫I F= ℓ >0 Bemerkung: Die Interpretationen der Zustandsausdrücke sind Funktionen ℝ⟶𝔹 mit endlich vielen Sprungstellen.

23 VII. Duration Calculus Axiom: Sei F ein Zustandsausdruck, dann gelten
⌈⌉∨ F ;true ∨ ¬F ;true und ⌈⌉∨true; F ∨true; ¬F a) M,I ⊨ ⌈⌉ oder M,I ⊨ F ; true oder M,I ⊨ ¬F ;true b) M,I ⊨⌈⌉ oder M,I ⊨true ; F oder M,I ⊨true ; ¬F

24 VII. Duration Calculus Kalkül
Axiom A0 : Sei p(t, … tn) gültig in ITL mit temporalen Variablen t. Dann ist p(F1, … , Fn) gültig in DC. Problem: Wie wird ein Zustandsausdruck auf einem Intervall ausgewertet, wenn er dort nicht konstant ist?

25 VII. Duration Calculus Kalkül
A1: F  G in Prädikatenlogik, dann gilt F=G

26 VII. Duration Calculus Kalkül
A2: false = 0 A3: true = ℓ A4: F  0 A5: F + G = FG + FG

27 VII. Duration Calculus Kalkül
A6: F = w1 ; F = w2  F = w1 + w2 A7: ⌈⌉  ⌈F⌉ ; true  ⌈F⌉ ; true A8: ⌈⌉  true ; ⌈F⌉  true , ⌈F⌉ F w1 w2

28 VII. Duration Calculus Kalkül
Zu A7 : Sei I ein Intervall, F eine Formel: M,I ⊨⌈⌉∨ F ;true ∨ ¬F ;true Fall 1: I ist ein Punktintervall, dann gilt M,I ⊨ ⌈⌉ Fall 2: I ist kein Punktintervall. Sei I = [b, e] Was ist lim 𝑥 →𝑏 𝐹(𝑥) ? Ist lim 𝑥 →𝑏 𝐹(𝑥) =0, so gilt am Anfang von I: F, sonst gilt dort F. Im ersten Fall heißt das M,I ⊨ ⌈F⌉ ; true sonst: M,I ⊨ ⌈F⌉ ; true

29 VII. Duration Calculus Kalkül
A7 (und auch A8) ermöglichen ein Induktionsprinzip: Wenn gezeigt wird: H(⌈⌉) und Aus H(X) folgt H (X ∨X ; F ∨X ; ¬F ) Dann folgt H(true). Anwendung: Nachweis einer Formel E Als H wird gewählt: H(X): X  E Zu zeigen: ⌈⌉E , X→E ⟹(X ∨ X; F ∨ X; ¬F ) →E