Wavelets – besser als die vertrauten Begriffe Wellenlänge und Frequenz? Wolfgang Müller-Schauenburg Astronomische Vereinigung Tübingen 29. September 2017

Übersicht Die vertrauten Wellenlängen und Frequenzen WARUM erzähle ich Ihnen von Wavelets? ua wg d Mathematikpreises an Yves Meyer 2017 Zur Geschichte von Wellen und Wavelets Was ist anders und besser? SUMME Könnten Sie sich vielleicht anstecken lassen?

Vertraute Begriffe Wellenlänge und Frequenz Elektromagnetische Wellen, Licht, Farben Wasserwellen, Schallwellen Ein Wellengemisch ist zerlegbar: weißes Licht in einzelne Farben, Töne in Grund- und Obertöne. Die mathematische Zerlegung ließ sich 1965 beschleunigen. Anwendungen ‚explodierten‘. Jede Welle breitet sich für sich aus: Farben bei Spiegelung gemeinsam (Spiegelteleskop), in Linsen u im Regenbogen etwas aufgetrennt.

WARUM erzähle ich Ihnen von Wavelets? Anlass: Preis 2017 an den frz. Mathematiker Yves Meyer für seine Beiträge zu den Wavelets. Das ‚Wavelet-Verstehen‘ hat in meinem Leben eine zentrale Rolle gespielt. Ähnlich in Meyers Leben: Wegen einer Arbeit 1984 krempelt Yves Meyer sein Leben um. Könnten auch jemand von Ihnen einen Anstoß heute mitnehmen? Wavelets sind ‚infektiös‘! Schauen wir uns die Wavelets an!

Zur Geschichte von Wellen und Wavelets Fouriers Wellenzerlegung vor 200 Jahren 1965 schnelle Fourierzerlegung. Wavelets von Ingrid Dauberchise 1980er Das Bildformat JPEG (Joint Photographic Expert Group) wird zu JPEG 2000 erweitert, setzt sich aber bis heute nicht durch (.JPG und .J2K)

Was ist anders und besser? (fast) alles!

Was ist anders und besser? Die vertrauten Wellen u Frequenzen zum Vergleich: JPEG JointPhotographicExpertGroup 1986 gegründet Wellenzerlegung zentral in dieser Bilderkompression möglich durch schnelle Fourier-Zerlegung FFT (1965) niedere Frequenzen enthalten wesentliche Information hohe Frequenzen (überwiegend Rauschen) entbehrlich JPEG veröffentlicht 1992 Beachte: Bei den Bildern sind das räumliche Wellen und räumliche Frequenzen, keine Wellen pro Zeit!

Leistungsfähigkeit für die Bild-Kompression Original JPEG2000 1:158 Wavelets JPEG 1:158 FOURIER unterteilt in 8x8-Pixel-Kacheln

Wavelets verstehen: Bildzerlegung in x-Richtung in Mittelwerte/Summen und Differenzen

Was ist anders und besser? Zur Veranschaulichung: Mittelwertbilder links (später links und oben, immer kleiner werdend) Tatsächliche Berechnung (sog ‚lifting‘): Mittelwerte bleiben an ihrem Ort. Gerade und ungerade Pixel werden abwechselnd neu berechnet. Kein separates Bild der Frequenzen!

Zur Veranschaulichung sind die Pixel der immer kleiner werdenden Summen- oder Mittelwert-Bilder links bzw. links oben zusammen geschoben. Bei der tatsächlichen Berechnung bleiben diese Pixel-Werte der Summen oder Mittelwerte jeweils über das Bild verteilt an ihren Orten.

umkehrbar, einfach, schnell, und nebenbei auch noch platzsparend Warum wird das verkleinerte Bild (die Mittelwerte) nicht in die Ecke geschoben? umkehrbar, einfach, schnell, und nebenbei auch noch platzsparend Differenzen  ungerade Pixel neue Mittelwerte  gerade Pixel

SUMME Könnten Sie sich vielleicht anstecken lassen? Yves Meyer wurde 1984 angesteckt, weil er auch gerade in die Richtung dachte Ich wurde angesteckt, aus Anlass von JPEG2000 (.J2K) noch einmal in die Mathematik tief einzutauchen und wavelets selber zu programmieren. ‚Bibel‘ vielfach im Internet: „Building your own wavelets at home“ Vokabel für das Abwechseln gerade/ungerade Pixel: „Lifting“

Zugabe: Impulse für Mathematik-Fans Zahl der Rechenoperationen (für N Pixel): - Fourier einfach ~N*N - Fourier schnell 1965 (FFT) ~N*logN - Wavelets ~N Randspiegelungen: - Fourier doppelt einen Randpunkt - Wavelets spiegeln IM Randpunkt (dadurch sind gespiegelte Punkte beide gleich – beide gerade od ungerade)

Ich danke für Ihre Aufmerksamkeit

Wavelet-Formen (interessieren aber nicht wirklich)

wie hätten Sie es gemacht? aus den geraden Elementen werden die ungeraden vorgesagt Vorhersage: Mittelwert der beiden geraden Nachbarn neuer ungerader Wert = Differenz Differenz zwischen einem vorhergesagten Mittelwert und dem echten/gemessenen/bisherigen ungeraden Pixelwert u = u - (glinks + grechts)/2 neuer gerader Wert „Update“ aus altem geraden Wert und der Differenz (= aktueller ungerader Wert) zur Erhaltung der Gesamt-Summe(!) g = 2g + (ulinks + urechts)/2

einfachstes Wavelet: nur 1 Nachbar wird betrachtet Vorteil: Berechnung überschreitet keinen Rand. Keine Spiegelung! am Anfang: gerades Pixel = a, ungerades Pixel = b aus den geraden Elementen werden die ungeraden vorgesagt “Vorhersage“: der Wert des linken geraden Nachbarn (a) neuer ungerader Wert = Differenz Differenz von Vorhersage u. echtem/gemessenem/bisherigem Pixelwert u = u - g (d = b - a) neuer gerader Wert „Update“ aus altem geraden Wert und der Differenz (dem dann aktuellen ungeraden Wert) zur Erhaltung der Summe (bzw. des Mittelwertes) g = 2g + u (s = 2a + d = a + b = Summe) (dann neuer Zyklus auf der halben Pixelzahl der bisherigen geraden Summen-Pixel)