Miriam Sorgenfrei, Fabio Schlindwein, Janik Prottung Sphärische Geometrie Jetzt geht’s rund! Modulfest 2010 Miriam Sorgenfrei, Fabio Schlindwein, Janik Prottung 1 1

Wundern Sie sich auch...? ...weshalb Flugzeuge auf der Strecke von Frankfurt nach L.A. einen Bogen fliegen und... ...weshalb sie nicht die scheinbar direkte Strecke nehmen? 2 2

Euklid is out Euklid von Alexandria 3 3

Fachbegriffe Die Sphäre ist die Menge aller Punkte des Raumes, die von O den Abstand r haben. Großkreis heißen alle Kreise der Sphäre mit O als Mittelpunkt. Er ist die Gerade auf der Kugel. o r 4 4

Fachbegriffe Der Abstand zwischen den sphärischen Punkten A und B entspricht dem kürzeren Teil der Großkreises durch A und B. Diametrale Punkte sind zwei Punkte A und B, zwischen denen die beiden Großkreis- abschnitte genau gleich lang sind. A B A B 5 5

Zweiecke zwei verschiedene Geraden schneiden sich in genau zwei Punkten auf der Kugel Eigenschaften: 2 Ecken, 2 gleiche Seiten, 2 gleiche Winkel zwei Großkreise zerlegen die Kugeloberfläche in 4 Kugelzweiecke (paarweise kongruent) 6 6

Sphärische Dreiecke Sphärische Dreiecke sind Flächenstücke der Sphäre, die durch drei Großkreisbögen begrenzt sind Durch drei Großkreisbögen können auf der Sphäre vier verschiedene Dreiecke entstehen 7 7

Das Poldreieck Spezielles Dreieck auf der Erdoberfläche Eine der Ecken liegt auf dem Nord- oder Südpol der Erde Dient zur Berechnung von Entfernungen 8 8

Dreiecksfläche Dreiecke mal genauer anschauen(bez. Auf fläche) Ebene erklären sphäre erklären Warum so ne formel  nächste folie 9

Dreieck mit drei 90° Winkeln Dreiecke mehr als 180° warum das  nächste folie

Axiomatik Euklids Axiome für die ebene Geometrie: 1. Je zwei verschiedene Punkte sind durch eine Gerade verbindbar. 2. Jede Gerade ist „unbegrenzt“. 3. Man kann Abstände antragen. 4. Alle rechten Winkel sind gleich. 5. Zwei ebene nicht-parallele Geraden schneiden sich. Was sind axiome  axiome erklären Einzeln vorlesen Letztes besonders betonen 11

Bedeutung des Parallelenaxioms Abänderung des Axioms:  Es gibt keine Parallelen Entstehung der nicht-euklidischen Geometrie Änderung des letzten  kugelgeometrie 12

Frankfurt – Los Angeles Beispiel: N: Nordpol Erdradius: 6370 km A: Los Angeles B: Frankfurt

Frankfurt – Los Angeles Die Gleichung mit eingesetzten Werten

Frankfurt – Los Angeles Berechnung der Stecke mit dem Bogenmaß: Die Entfernung zwischen Los Angeles und Frankfurt beträgt ca. 9291,1 km.

Ausblick Zu der nicht-euklidischen Geometrie gehören auch noch andere Geometrien, wie z. B. die Hyperbolische Geometrie