Stabilität von Gleichgewichten

Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen Kontinuitätsgleichung Kraftgleichung Ohmsches Gesetz Und dazu noch: Maxwell- Gleichungen Adiabatische Zustandsänderung:

Stabilitätsuntersuchungen Nichtlineare Stabilität: numerische Lösung der MHD Gleichungen Einfacher: Lineare Stabilität: Betrachte kleine Störungen des GG Störungsansatz für , v, p, B: z.B.

Lineare Stabilitätsuntersuchungen Für statische Gleichgewichte findet man Gleichungen für die zeitliche Entwicklung der gestörten Größen 1, v1, p1, B1 z.B. Statt v1 anschaulichere Größe  (Zeitintegral von v1) verwenden : Verschiebungsvektor (kleine Verschiebung des GG-Zustandes) Man findet aus Kraftgleichung (+ Maxwell, Adiabatengesetz):

Eigenwertproblem in linearer MHD Keine Quellen und Senken in idealer MHD EW-Problem mit reellem 2 2 > 0: Schwingungen um GG-Lage => Alfvèn-Wellen 2 < 0, Im  >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einer Anfangsstörung

Die treibenden Kräfte Einfachster Fall: homogenes Plasma Keine Instabilitäten, aber Wellenausbreitung Zusätzlich zu Schallwellen: Alfvèn-Wellen

Wellen im Gas bzw. im Plasma ohne Magnetfeld: Schallwellen Ausbreitungsgeschwindigkeit:

Scher- Alfvèn-Wellen Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit Magnetfeld-Energie Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

Kompressionale Alfvèn-Wellen Charakteristische Geschwindigkeit: Kompressions-Energie Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

Anschaulicher : Energieprinzip MHD-Instabilitäten 2 < 0, Im  >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einer Anfangsstörung Anschaulicher : Energieprinzip Ideale MHD: Energieerhaltung, weil keine Dissipation Stabiles Gleichgewicht: Minimum der potentiellen Energie

Das Energieprinzip (1) Betrachte stationäres GG => kin. Energie nur in Störung Wkin= Kann man umschreiben mit zu: Wkin= Energieerhaltung fordert Gleichheit von (Störung der) kinetischen und der potentiellen Energie

Das Energieprinzip (2) K(,) >0 Wpot > 0  2 > 0 =>  reell => oszillierende Störung Wpot < 0  2 < 0 =>  imaginär => exponentiell anwachsende Störung

Das Energieprinzip (3) Wpot = WVAC + WOF + WPL Vakuumbeitrag: stabilisierend: Kompression des Vakuumfeldes erfordert Energie Beitrag durch Ströme auf der Plasmaoberfläche: WOF

Das Energieprinzip (4) Wpot = WVAC + WOF + WPL Immer stabilisierend u.U. destabilisierend

Das Energieprinzip (4): stabilisierende Beiträge Wpot = WVAC + WOF + WPL stabilisierend Energie zum Komprimieren von Feldlinien (Wpot zu Kompr.-Alfvèn-Wellen) Energie zum Verbiegen von Feldlinien, „Feldlinienspannung“ (Wpot zu Scher-Alfvèn-Wellen) Energie zum Komprimieren des Plasmas (Wpot zu Schallwellen)

Das Energieprinzip (5): destabilisierende Beiträge Wpot = WVAC + WOF + WPL immer stabilisierend u.U. destabilisierend Druckgetriebene Instabilitäten Stromgetriebene Instabilitäten

Das Energieprinzip (5): destabilisierende Beiträge Wpot = WVAC + WOF + WPL Anwendungen des Energieprinzips: Wenn man Testfunktion finden kann, für die Wpot negativ wird, ist Gleichgewicht instabil!

Austauschinstabilität Destabilisierender Term: Destabilisierend für  p

Beispiel: Z-Pinch Zylindersymmetrie => Fourier-Zerlegung des Verschiebungsvektors

Beispiel: Z-Pinch (m=0) bei m=0 j||=0 Störfeld senkrecht zu GG-Feld: Feldlinienkrümmung:

Beispiel: Z-Pinch (m=0) Druckgradient destabilisierend Kompressionsterme stabilisierend, aber ungünstige Krümmung Minimierung der potentiellen Energie bzgl.   und Einsetzen liefert: i.allg. nicht erfüllt Stabilitätskriterium:

Beispiel für instabile Profile (Bennet-Profile) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 1.5 2 B(r) p(r) Iz(r) r/r0 Stabilität nur für  > 2, aber ideale MHD:  = 5/3

“Würstcheninstabilität” (m=0)

Beispiel: Z-Pinch (m>0) Unter Nutzung der GG-Bedingung folgt: Stabilitätskriterium: < 0, wenn j(r) nach außen abfällt => Z-pinch stabil für m>2! Im Zentrum Stromdichte etwa konstant => instabil für m=1!

Kink-Instabilität (m=1)

x

Z-Pinch: Kink- und Würstchen-Instabilität Stabilisierung durch Kombination mit Theta-Pinch!

Bisher ideale MHD – Instabilitäten: MF-Topologie nicht geändert

Resistive Instabiliäten Ohmsches Gesetz Maxwell- Gleichungen Endliche Resistivität erlaubt Änderung der MF-Topologie!

Magnetische Inseln Verringerung der Feldlinienspannung durch Rekonnektion führt zu Zustand geringerer Energie!

Zusammenfassung MHD-Wellen (auch im homogenen Plasma): Schallwellen, Scher-Alfvèn-Wellen, Kompressionswellen Lineare Instabilitäten in idealer MHD: Eigenwertproblem (2<0) Energieprinzip (Wpot<0) Getrieben durch Druck- oder Stromgradienten: Bsp: Austauschinstabilität Würstcheninstabilität Knick-(kink) Instabilität Resistive Instabilitäten: wachsen viel langsamer als ideale Instabilitäten können Magnetfeldtopologie ändern