LU11: Dreiecke - Vierecke 1 Mittelsenkrechte und Umkreis Die Mittelsenkrechten ma, mb und mc eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt U. Spitzwinkliges : U innerhalb Rechtwinkliges : ( = 90°) U = Mc Stumpfwinkliges : U ausserhalb A B C ku . Ma ma Mb ma mb mc ku mb A B C ku Ma Mb Mc . A B C ma . . ru mc . mb ru ru . Ma Mc Mb . . U U U=Mc mc . U liegt in der Mitte der Hypotenuse, U hat von allen drei Eck- punkte denselben Abstand.

LU11: Dreiecke - Vierecke 2 Winkelhalbierende und Inkreis Die Winkelhalbierenden , und eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt I. A B C a b c Der Inkreismittelpunkt liegt immer im Innern eines Dreiecks. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten denselben Abstand. Der Radius ri steht senkrecht auf die Dreiecksseiten. X Y Z ri kI . I Der Berührpunkt ist i. A. nicht identisch mit dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Dreiecksseite: z. B. Z ≠

LU11: Dreiecke - Vierecke 3 Seitenhalbierende und Schwerpunkt Die Seitenhalbierenden sa, sb und sc eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S. A B C a b c 1 2 Der Schwerpunkt liegt immer im Innern des Dreiecks. Eine Seitenhalbierende (Schwerlinie) ist die Verbin- dungslinie von der Seitenmitte zur gegenüberliegenden Ecke. Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1. . Mb sb sc sa . Ma S . Mc

LU11: Dreiecke - Vierecke 4 Höhen und Höhenschnittpunkt Die Höhen ha, hb und hc eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H. Spitzwinkliges : H innerhalb Rechtwinkliges : ( = 90°) H = C Stumpfwinkliges : H ausserhalb A B C H hc ha hb H A B C a c b = H . hb ha hc Hc Ha Hb . . . hc hb ha A B C a c b a c b . . . . Die Höhe ist die Senkrechte von einer Ecke zur gegen- überliegenden Seite. Der Höhenschnittpunkt liegt in der Ecke mit dem rechten Winkel. Zwei Seiten müssen verlängert werden.

LU11: Dreiecke - Vierecke 5 Konstruktionsaufgaben Zu einer Konstruktionsaufgabe gehören: a) Überlegungsfigur b) Konstruktion c) Konstruktionsbericht Beispiel: Konstruiere ein Dreieck aus: ha = 4,5 cm ; a = = 6 cm ; Überlegungsfigur Konstruktion Konstruktionsbericht C A B C 1. Höhenstreifen für ha  a, g . a g ÜF ergänzen a . ha Lösung grün 2. B auf a wählen g 3. auf a abtragen C 4. in B an a abtragen  c 5. c  g  A A ► Ecken beschriften c B ► Gegebene Stücke mit Farbe einzeichnen und beschriften. Tipp: Ist eine Höhe gegeben, beginne mit dem Höhenstreifen!

LU11: Dreiecke - Vierecke 5 Trapeze Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten heisst Trapez. D A B C a c b d h . m a, c Grundseiten b, d Schenkel h Höhe m Mittellinie Fläche Es gibt… … das allgemeine, das rechtwinklige und das gleichschenklige Trapez. A B C D A B C D . A B C D