... mit uns können Sie rechnen!

Präsentation zum Thema: "... mit uns können Sie rechnen!"—  Präsentation transkript:

1 ... mit uns können Sie rechnen!
Gernot Mühlbacher ... mit uns können Sie rechnen! * Geometrie I *G E R A D E(N) und W I N K E L Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! 22 Das Lernsoftware-Paket zu diesem Thema kannst du kostenlos herunterladen: © Gernot Mühlbacher Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe

2 Stichwortverzeichnis
1 führt immer zum 22 Lernen ist mehr als Verstehen ... zum Suchen HOME Folie Nr.: Dreiecksarten 9 Lot fällen 14 Dreieck (Benennungen) Mittelsenkrechte im Dreieck 17 Drehsinn 3, 7 Nebenwinkel 4 Ergänzungswinkel Parallele zeichnen 14, 16 Uhrzeigersinn 3 Einheitskreis 8 Schenkel Vollwinkel 7, 8 Gegenwinkel Scheitelpunkt Wechselwinkel 5 Geodreieck 6, 7, 17 Scheitelwinkel Winkel Erklärung,Benennungen 3, 4, 8 Grundkonstruktionen 12, 13, 14 Seitenhalbierende Winkelgröße Halbieren (Winkel, Strecke) 12 Senkrechte Winkelsumme 3-eck, 4-eck, n-eck 19,20,21 Kreismittelpunkt 18 Steigungswinkel Winkel messen 6,10,11 Stufenwinkel Winkel zeichnen 10,11 ? 2 3 4 5 Folie Nr.: 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Folien-Nr. anklicken! 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

3 WINKEL 1 überstumpfer ≮ Modell eines Ferienhauses
Dachsparren First-Balken Bodenlinie Zwischendecke Bodenlinie = Dachtraufe Modell eines Ferienhauses WINKEL Wechsle nach jeder Frage vom Bildschirm zum AB zu Folie 2 und beantworte sie dort. Hier kannst du dein Grundwissen in Teilen testen. Betrachte das Ferienhaus genau! Uns interessieren die vielfältigen Winkel, die du an den fünf verschiedenen Glasflächen an der Vorderseite sehen kannst. Dazu unsere Fragen: Wieviele Winkel kannst du dort insgesamt zählen? Richtig: 17 Wieviele rechte Winkel findest du dort? Richtig: 10 Wieviele spitze Winkel findest du dort? Richtig: 7 stumpfer ≮ überstumpfer ≮ Welche Art von Winkeln fehlt dort? Auf der Rückseite des Hauses befindet sich ein dekoratives Fenster. Jetzt betrachten wir einmal die Dachfläche (ohne dreieckiges Fenster): Wieviele rechte Winkel findest du dort? Falsch: Richtig: 4 Wieviele stumpfe Winkel findest du dort? Falsch: Richtig: 2 überstumpfer ≮ Das Schrägbild stellt die Verhältnisse verzerrt dar. Wechsle nach jeder Frage zu deinem Arbeitsblatt (AB zu Folie 2) und beantworte sie dort. (Kontrolliere dann hier gleich die Lösung!) 𝛃 = 253 ° 𝛃 = ° 𝛃 Wir müssen auf die Wiese rechts vom Haus laufen und von dort das Dach betrachten. 𝛂 𝛂 = ° 𝛂 = 107° Berichtige ggf. die falschen Werte oben! stumpfer ≮ Jetzt betrachten wir das Dreieckfenster in der Dachfläche. (... auch von der Wiese aus gesehen) Die Summe (überstumpfer ≮ und zugehöriger stumpfer ≮ beträgt: Wie groß ist die Summe der beiden zusammen gehörenden Winkel? Welche Arten von Winkeln siehst du dort? 𝛂 + 𝛃 = 360° Anzahl: Dies wird für uns noch eine bedeutende Entdeckung sein! Wie groß sind die Winkel? rechte ≮? spitze Winkel ≮? stumpfe ≮? 2 1 1

4 WINKEL äußeres Winkelfeld ° ≮ASB WINKEL als Größen - ≮ASC 1
Dachsparren First-Balken Bodenlinie Zwischendecke Bodenlinie = Dachtraufe WINKEL Zwei Strahlen (auch Halbgeraden) liegen in der gleichen Ebene In unserer Umwelt wimmelt es von Winkeln. Wir haben auf der vorigen Folie gesehen, dass eine sichere Kenntnis der Sachverhalte –also eine Wiederholung und Vertiefung- wichtig ist. äußeres Winkelfeld und haben einen gemeinsamen Anfangspunkt, den Scheitelpunkt S. Schenkel 2 Winkel Vorstellung 1 Die Strahlen bilden die zwei Schenkel eines Winkels. inneres Winkelfeld S 34 Die Strahlen des Winkels teilen die Ebene in zwei Winkelfelder. Schenkel 1 Meist spricht man nur vom ‚Winkel‘ und meint damit das ‚innere Winkelfeld‘. ≮𝛂 (alpha) Winkelfelder benennt man mit kleinen Buchstaben des griechischen Alphabets. ≮𝛃(beta) Du kannst dir die Entstehung eines Winkelfeldes auch so vorstellen: ≮𝛄 (gamma) Die zwei Schenkel (1 und 2) liegen zunächst übereinander. ≮𝞭 (delta) B Schenkel 2 dreht sich langsam um den Scheitelpunkt S gegen den Uhrzeigersinn (also links herum von A nach B). ≮ASB Vorstellung 2 Oder: Schenkel 2 dreht sich langsam um den Scheitelpunkt S mit dem Uhrzeigersinn (also rechts herum von A nach C). Schenkel 2 +39° S Schenkel 1 WINKEL als Größen A - 39° Größenangaben für die Winkelweite bestehen immer aus einer Maßzahl (z.B. 34) ≮ASC und der Maßeinheit ° (Winkel-Grad). Schenkel 2 Meist werden sie in einen Winkelbogen eingeschlossen. C Bei Drehung im Uhrzeigersinn (Rechtsdrehung) bekommt die Maßzahl ein negatives Vorzeichen. Man kann auch die drei Punkte angeben, die den Winkel definieren. Der Scheitelpunkt (hier S) liegt immer in der Mitte, z. B. ≮ASB. 1

5 Winkel an sich schneidenden Geraden
Zwei Geraden g und h schneiden sich. Es entsteht ein Schnittpunkt. Gegenwinkel haben keine gemeinsamen Schenkel. Gegenwinkel an sich schneidenden Geraden sind gleich groß. h blau 𝛂 = 𝛄 blau grün 𝛃 = 𝞭 grün 𝞭 𝛄 Gegenwinkel heißen auch Scheitelwinkel, da sie einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben. S 𝛂 g 𝛃 Zeige durch geschicktes Falten deiner Zeichnung die Richtigkeit der Aussage(n)! ... dann hier weiterarbeiten! Dieser Schnittpunkt ist gleichzeitig Scheitelpunkt S von vier Winkeln 𝛂 , 𝛃 , 𝛄 und 𝞭. (alpha, beta, gamma, delta) Nebenwinkel haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt ... und ihre Winkelfelder haben einen gemeinsamen Schenkel. Die zwei anderen Schenkel bilden eine Gerade. (Gestreckter Winkel ➞ 180°) Fertige auf einem leeren Blatt Papier eine Zeichnung an, die der gezeigten entspricht! ... dann zurück zum Bildschirm! Auf nachfolgendem Bild siehst du eine Treppe, die zwei Ebenen mit- einander verbindet. Erforsche die Bedeutung der Begriffe Scheitelwinkel, Gegenwinkel, Ergänzungswinkel und Nebenwinkel! Gehe zum AB (Folie 4)! Halte dort die Ergebnisse schriftlich fest! ... dann zurück zum Bildschirm! Nebenwinkel an sich schneidenden Geraden ergänzen sich zu einem gestreckten Winkel (180°). Deswegen tragen sie auch den Namen Ergänzungswinkel. Welche Winkel in unserer Zeichnung sind Gegenwinkel? ... dann zurück zum Bildschirm! 𝛂 + 𝛃 = 180° 𝞭 + 𝛄 = 180° Welche Winkel in unserer Zeichnung sind Nebenwinkel? Gehe zum AB (Folie 4 )! Halte dort die Ergebnisse schriftlich fest! Begründe deine Aussage. ... dann zurück zum Bildschirm! blau grün grün blau 𝛄 + 𝛃 = 180° 𝞭 + 𝛂 = 180° Wie steil steigt die Treppe an? Gib den Steigungswinkel an! Wie groß ist der entsprechende Nebenwinkel? ... dann zurück zum Bildschirm! Der Steigungswinkel beträgt 𝛄 = 35°. 145° 35° Der Ergänzungswinkel beträgt 𝞭 = 145°.(Nebenwinkel) 1

6 Winkel an geschnittenen Parallelen
Stufenwinkel liegen immer paarweise links (oder rechts) der Geraden g und gleichzeitig paarweise über (oder unter) den Parallelen p1 und p2. Die parallelen Geraden p1 und p2 werden von einer dritten Geraden g geschnitten. Das Beispiel mit der Treppe hat bereits die nächste Fragestellung berührt. g Stufenwinkel sind gleich groß. ( ... wenn p1 und p2 parallel verlaufen). 𝛂‘ 𝛃‘ 𝛄‘ 𝞭‘ p2 blau 𝛂 = 𝛂‘ blau grün 𝞭 = 𝞭‘ grün blau 𝛄 = 𝛄‘ blau grün 𝛃 = 𝛃‘ grün 𝛂 𝛃 𝛄 𝞭 Umgekehrt können wir auch folgern: Wenn Stufenwinkel gleich groß sind, dann müssen die geschnittenen Geraden auch parallel verlaufen. p1 Vier Winkel entstehen an jedem Schnittpunkt. Wechselwinkel liegen paarweise immer einer links, der andere rechts der Geraden g und gleichzeitig immer einer über der Parallelen p1, der andere unter p2. Wir reduzieren das Bild auf wesentliche Elemente. Trage alle fehlenden Winkelgrößen unten ein! ... dann zurück zum Bildschirm! g Wechselwinkel sind gleich groß. ( ... wenn p1 und p2 parallel verlaufen). p2 p1 Gezeichnete und angegebene Winkelwerte stimmen hier nicht überein! Welche Winkel in unserer Zeichnung sind Stufenwinkel? ... dann zurück zum Bildschirm! Erforsche die Bedeutung der Begriffe Stufenwinkel Wechselwinkel! Gehe zum AB (Folie 5)! Halte dort die Ergebnisse schriftlich fest! ... dann zurück zum Bildschirm! blau 𝛂 = 𝛄‘ blau grün 𝞭 = 𝛃‘ grün 𝛃 = 101° 𝛂 =79° 𝛂‘ =79° 𝛄‘ =79° 𝛄 =79° 𝞭 = 101° 𝛃‘ = 101° 𝞭‘= 101° blau 𝛄 = 𝛂‘ blau grün 𝛃 = 𝞭‘ grün 𝛄 = 𝛄‘ Begründung: Stufenwinkel Welche Winkel in unserer Zeichnung sind Wechselwinkel? ... dann zurück zum Bildschirm! 𝞭‘ 𝛃‘ = Begründung: Begründe jeweils! ... dann zurück zum Bildschirm! Gegenwinkel 𝞭 𝛃‘ = Begründung: Wechselwinkel 𝛃 = 101° 𝛄‘ 𝛂 = Begründung: Wechselwinkel 1

7 DAS GEODREIECK 1 (erstmals 1964 von der Firma Aristo)
Das Geodreieck kann vielseitig benutzt werden: als Lineal zum Zeichnen von Geraden und Messen der Länge von Strecken, Winkelskala (außen) zum parallelen Verschieben von Geraden und als Winkelmesser Winkelskala (innen) Winkelskala (außen) Zeichnen eines Winkels 𝛂 = 53°: 0°↓ Grundlinie ↑ Nullpunkt S 53°↓ Folgende Benennungen werden immer wieder gebraucht: Wichtige Hinweise: Beachten beim Messen oder Zeichnen von Winkeln: Anlegen des Nullpunktes immer am Scheitelpunkt S! Nullpunkt Grundlinie genau entlang des ersten Schenkels des zu zeichnenden Winkels anlegen Winkelskala (innen) ... nutze immer die Skala, die am noch anliegenden Schenkel bei Null beginnt! Drehen bis zum gewünschten Winkelmaß. Winkelskala (außen) Schau dir (z.B. auf YouTube) am besten mehrere Videos zum Thema „Zeichnen und Messen von Winkeln“ an!1 1

8 WINKEL im Vollkreis ° ° ° ° ° 1
Verständliche Darstellung mit 2 Geodreiecken: Der Drehsinn (Folie 3) steht im Widerspruch zu der Beschriftung der Gradeinteilung auf diesem Vollkreis! Auf dem unteren Geodreieck sollten eigentlich die Winkel von 180° bis ? stehen! Beschrifte richtig! Die Beschriftung folgt dem Uhrzeigersinn! Versuche auf deinem AB zu Folie 7 den Widerspruch aufzudecken und schlage eine Lösung vor! Begründe diese! Fertig? ... dann KLICK! ↑ 90° Also: Die positiven Winkelwerte müssten deshalb im gegenläufigen Sinn angeschrieben werden. Oder: Alle Winkelwerte müssten mit negativen Vorzeichen versehen sein! ←gegen den Uhrzeigersinn← ↓180° ↓ 0° ← 30° Schenkel 2 ↑360° ← 20° ←190° 50° ← 10° ← -350° Schenkel 1 ←225° ←315° Die ursprüngliche Benennung der Winkelwerte kann hier nicht im Zusammenhang mit Drehung eines Schenkels gesehen werden! (Vorstellung 1) ← -10° weiterzählen ← -20° ← -30° ↓ 270° Diese Einteilung geht auf die Babylonier zurück. Ihr Zahlsystem beruhte auf der Zahl 60. Diese Kultur bestand vor über 4000 Jahren im heutigen Irak. Recherchiere, weshalb die Winkelskala nicht nach dem Dezimalsystem aufgeteilt wird? (z.B. in 100 oder 400 Teile im Vollkreis) Fertig? ... dann KLICK! Beschreibe auf deinem AB, wie viel Grad der feste Winkel zwischen den Schenkeln 1 und 2 misst! Fertig? ... dann KLICK! Dieser in Grad eingeteilte Vollkreis ist unkorrekt beschriftet und eignet sich nicht gut für das Zeichnen oder Messen von Winkeln. Aber es gilt: Das Winkelfeld des Vollwinkels erfasst den ganzen Kreis. Es misst 360°. 𝛂 + 𝛃 = 360° 1

9 WINKELARTEN und ihre Benennung
Über diesen Kreis mit dem Radius r = 1 legen wir ein Achsenkreuz. E Winkel werden mit kleinen Buchstaben des griechischen Alphabets benannt: 𝛂 (alpha) Der Radius rotiert um den Mittelpunkt 𝛃 (beta) Alle Winkel, die wir im 1. Quadranten einzeichnen, erscheinen uns mehr oder weniger spitz. 𝛄 (gamma) 𝞭 (delta 𝛂 = 180° Alle Winkel, die wir im 2. Quadranten einzeichnen, erscheinen uns mehr oder weniger stumpf. 2. Quadrant 1. Quadrant 𝛂 = 153° gestreckter Winkel 𝛂 = 105° 𝛂 = 310° 𝛂 = 82° 𝛂 = 55° 𝛂 = 210° 𝛂 = 90° 𝛂 = 28° 𝛂 = 15° Misst ein Winkel genau 180°, dann ist er gestreckt. r = 1 Winkel, die größer als 180° sind, nennt man überstumpf oder erhaben. 3. Quadrant 4. Quadrant Der volle Kreis überdeckt dann einen vollen Winkel. Der Vollwinkel misst 360°. spitze Winkel: 0° < 𝛂 < ° EINHEITSKREIS rechter Winkel: 𝛂 = 90° Dieser Radius hat jetzt für alle unsere Überlegungen den Wert von 1 Einheit (1E). stumpfe Winkel: 90° < 𝛂 < ° gestreckter Winkel: 𝛂 = ° r = 1 E überstumpfe Winkel: 180° < 𝛂 < ° Der Durchmesser misst also zwei Einheiten (2E). voller Winkel: 𝛂 = ° d = 2 E 1

10 unregelmäßiges Dreieck
DREIECKE Die Benennung richtet sich nach der Größe der Winkel: Wiederholungen von Grundkenntnissen Benennungen 𝛂 < 90° drei spitze Winkel Die Eckpunkte werden mit großen Buchstaben des Alphabets benannt (gegen den Uhrzeigersinn) spitzwinkliges Dreieck 𝛃 < 90° C 𝛄 < 90° 𝛄𝛄 Die Dreieckseiten werden mit den kleinen Buchstaben entsprechend dem gegenüberliegenden Eckpunkt benannt. b a 𝛂𝛂 𝛃𝛃 ein rechter Winkel Die Winkel werden mit den kleinen Buchstaben des griechischen Alphabets benannt. A c B + zwei spitze Winkel . . . rechtwinkliges Dreieck 𝛂 bei A 𝛃 bei B 𝛄 bei C 𝛂 = 90° 𝛃 = 90° 𝛄 = 90° drei Möglichkeiten Arten von Dreiecken Merke für die ‚Trigonometrie‘! C Die Benennung richtet sich nach der Länge der Dreieckseiten : Die dem rechten Winkel gegenüber liegende Seite nennt man Hypotenuse. 1.Bezeichne auf deinem Arbeitsblatt AB die Eckpukte eines Dreieckes mit den üblichen Buchstaben! Fertig, dann zurück! ... KLICK! Kathete Kathete Die am rechten Winkel anliegenden Seiten nennt man Katheten.. . drei gleich lange Seiten gleichseitiges Dreieck 2. Wie benennt man die Dreieckseiten? Fertig, dann zurück! ... KLICK! unregelmäßiges Dreieck A Hypotenuse B 3. Wie benennt man die Winkel im Dreieck? Fertig, dann zurück! ... KLICK! a ≠ b ≠ c a = b = c ein stumpfer Winkel + zwei spitze Winkel 4. Ordne den Dreiecken sinnvolle Namen zu! Fertig, dann zurück! ... KLICK! stumpfwinkliges Dreieck zwei gleiche Schenkel gleichschenkliges Dreieck oder oder a = b c = a b = c 90°< 𝛂< 180° 90°< 𝛃 < 180° 90°< 𝛄 < 180° drei Möglichkeiten 1

11 WINKEL zeichnen, messen
76° 0°➞ 35° 0°↓ 76° 76°↑ S 35° S 35°↑ 125° 90° 0°→ Wechsle zu deinem Arbeitsblatt (AB zu Folie 10) und zeichne mit dem Geodreieck die Winkel! (Kontrolliere dann hier die Lösungen.) Wenn Probleme auftauchen, dann kehre kurzzeitig zum Bildschirm zurück, betrachte den Lösungsgang und zeichne dann aus dem Gedächtnis den Winkel. 0°➞ 125° S 90° 125°↑ S 90° 1

12 WINKEL zeichnen (Übung2)
250° 1. Weg: 2. Weg: 250° 250° = 360° ? 110° 250° = 180° ? 70° 250° ↓110° 180° 70° S 180°↑ S -110° 0°➞ Winkelskala (außen) Winkelskala (außen) 0°➞ Mit dem Winkelmesser kann man nur 180° messen und abtragen. Mit dem Winkelmesser kann man nur 180° messen und abtragen. Zur Fortsetzung: Geodreieck auf der Gegenseite anlegen. Den Rest zum Vollwinkel 360° berechnen. Diese beiden Übungen musst du zuerst hier anschauen und genau überdenken! Geh dann auf das AB zu Folie 11 ! (Kontrolliere dann hier noch einmal deine Ergebnisse.) Den Rest zum geforderten Winkel berechnen. Das Geodreieck mit dem negativen Betrag des Restwinkels (im Uhrzeigersinn) einrichten. Berechneten Winkelbetrag durch Anlegen des Geodreiecks im Gegenuhrzeigersinn einrichten. Schenkel des geforderten Winkels einzeichnen. Gesuchten Schenkel des Winkels als Gegenwinkel einzeichnen. Hier fällt es schwer, zwischen dem ‚inneren Winkelfeld‘ und dem ‚äußeren Winkelfeld‘ zu unterscheiden. 1 Wir haben nur ein Geodreieck also müssen wir trickreich arbeiten.

13 GRUNDKONSTRUKTIONEN . . 1 in der zeichnerischen Geometrie
In der der klassischen griechischen Geometrie gab es nur Zirkel und Lineal (zum Ziehen gerader Striche, nicht zum Messen von Längen). Winkelmesser gab es nicht. Das gilt jetzt auch für dich! in der zeichnerischen Geometrie Senkrechte zu einer Geraden im Punkt P . Bearbeite die folgenden drei Teilaufträge jeweils nacheinander. Verfolge zuerst bei jedem Teilauftrag den Weg der Zeichnung! Präge ihn dir ein! Gehe dann zum AB zu Folie ....und vollziehe dort aus dem Gedächtnis die Zeichnungen! Überprüfe dann deine Zeichnungen noch einmal am Bildschirm! Z1 P Bearbeite die folgenden drei Teilaufträge jeweils nacheinander. Verfolge zuerst bei jedem Teilauftrag den Konstruktionsweg! Präge ihn dir ein! Gehe dann zum Arbeitsblatt und vollziehe dort aus dem Gedächtnis die Konstruktion! Überprüfe dann deine Zeichnungen noch einmal am Bildschirm! Z2 Halbierung einer Strecke AB und Mittelsenkrechte auf einer Strecke AB . A B M Fertig? ... KLICK zur nächsten Folie! Formuliere auf dem zugehörenden AB zu Folie die jeweiligen Texte zur ‚Anleitung zur Zeichnung‘, indem du dich parallel auf der Folie noch einmal Schritt für Schritt durchklickst! Du bekommst auf dem Bildschirm danach auch gleich unsere Formulierungen zu sehen. Sind deine vergleichbar? Winkelhalbierende eines Winkels 𝛂𝛂 𝛂𝛂 e w𝛂 d e S d 1

14 GRUNDKONSTRUKTIONEN . . 1 in der zeichnerischen Geometrie
Anleitungen zum Zeichnen: Senkrechte zu einer Geraden im Punkt P Auf der Geraden einen Punkt P markieren. H1 Mit dem Zirkel zwei Punkte Z1 und Z2 mit gleichem Abstand zu P abtragen. s Zirkel in Z1 und Z2 einstechen; mit je gleicher Einstellung Hilfspunkt H1 als Schnittpunkt feststellen. . Z1 P Z2 Die Gerade durch P und H1 ist die Senkrechte s in P. Halbierung einer Strecke AB Zirkel in A und B einstechen; mit je gleicher Einstellung Hilfspunkte H1 und H2 als Schnittpunkte feststellen. Mittelsenkrechte auf einer Strecke AB H1 Lineal an den Hilfspunkten H1 und H2 anlegen und M als Halbierungspunkt auf der Strecke AB einzeichnen. m . Hilfspunkten H1 und M verbinden und damit die Mittelsenkrechte m auf der Strecke AB einzeichnen. A B M H2 Winkelhalbierende eines Winkels 𝛂𝛂 Zirkel in S einstechen; mit je gleicher Einstellung d Hilfspunkte H1 und H2 festlegen. 𝛂𝛂 H3 H1 e Zirkel in H1 und H2 einstechen; mit je gleicher Einstellung e den Hilfspunkt H3 als Schnittpunkt einzeichnen. w𝛂 d e Die Gerade durch S und H3 ist die Winkelhalbierende w𝛂 . S 1 d H2

15 Weitere Grundkonstruktionen in der zeichnerischen Geometrie
Ein Punkt P liegt außerhalb einer Geraden g. Fälle das Lot von P auf die Gerade g! Mit dem Zirkel zwei Punkte Z1 und Z2 mit gleichem Abstand d zu P abtragen. P d Zirkel in Z1 und Z2 einstechen; mit je gleicher Einstellung Hilfspunkt P‘ als Schnittpunkt feststellen. Lot d . g Lineal an Punkte P und P‘ anlegen. Z1 Z2 Lot (Senkrechte) von P bis zur Geraden g fällen.. P‘ Ein Punkt P liegt außerhalb einer Geraden g. Fälle zunächst ein Lot von P auf g. (Siehe oben!) Zeichne die Parallele zu g durch P Trage die Strecke Z1Z2 mit dem Zirkel in angemessener Entfernung noch einmal auf g ab. P P‘ Schlage mit dem Zirkel je einen gleichen Kreisbogen d um Z1 und Z2, so dass der Schnittpunkt P‘ entsteht. d Lot d d d . Lineal an Punkte P und P‘ anlegen. g Z1 Zirkel Z2 Z‘1 Z‘2 Gerade durch Punkte P und P‘ zeichnen.. P‘ Lege dein AB zu Folie 14 neben den Bildschirm. Verfolge die Zeichnungen und formuliere den Text zur Anleitung! Texte angefertigt?!... dann KLICK! Überlege an Hand der fertigen Zeichnungen, welche Arbeitsschritte mit dem heutigen Hilfsmittel ‚Geodreieck‘ leichter und schneller verlaufen wären! 1

16 Sie werden mit dem Zirkel in die Zeichnung übertragen!
Von den alten Griechen zur Neuzeit digitaler Winkelmesser Die Zeichenwerkzeuge in der klassischen griechischen Geometrie: Zirkel und Lineal (ohne Skalierung zum Ziehen gerader Striche, nicht zum Messen von Längen). z.B. Winkelmesser gab es nicht. Vor nun etwa 55 Jahren wurde den Zeichnern (Schüler, Technische Zeichner, Konstrukteure ...) das Geodreieck zur Hilfe an die Hand gegeben. Die Regeln der Griechen mussten neu überdacht werden. Man konnte ja vor den Veränderungen nicht die Augen verschließen. Rede am besten mit deinen Lehrern oder Lernbegleitern, wie weit sie z.B. dem Einsatz des modernen Hilfsmittels ‚Geodreieck‘ Raum geben. Zwei Regeln sollten beim Zeichnen aber eingehalten werden: > zum Bildnachweis > z. B. darf beim Halbieren einer Strecke oder eines Winkels der halbe Betrag nicht ausgerechnet werden. Im Verlauf eines zeichnerischen Lösungsverfahrens wird nicht gerechnet. Längen (z.B. von Strecken) werden nicht mit dem Lineal in die Zeichnung eingemessen. Sie werden mit dem Zirkel in die Zeichnung übertragen! Siehe das Beispiel auf Folie 14 ! 1

17 Große Hilfe ‚GEODREIECK‘
Vereinfachter Zeichenweg mit Geodreieck Große Hilfe ‚GEODREIECK‘ Mittellinie des Geodreiecks auf die Gerade g! Diese Aufgaben kennst du von Folie . Grundlinie durch Punkt P. Ein Punkt P liegt außerhalb einer Geraden g. Lot von P auf die Gerade g Lot fällen! P Überlege noch einmal, wie aufwendig die Konstruktion mit Zirkel und Lineal war! P d Lot d g . g Z1 Z2 P‘ Ein Punkt P liegt außerhalb einer Geraden g. 1. Weg: Grundlinie auf Gerade g. Parallele zu g durch P Grundlinie verschieben bis auf Punkt P. Die parallelen Linien im Geodreieck helfen! P P‘ Parallele durch Punkt P zeichnen. P d Lot d d d . g Z1 Zirkel Z2 Z‘1 Z‘2 P‘ 2. Weg: Zeichne dann auf deinem AB zu Folie 16 jeweils mit Geodreieck! Fertig, dann hier Kontrolle! ... KLICK! Wenn Punkt P zu weit entfernt ist, dann hilft das parallele Verschieben entlang eines Lineals. 1

18 BESONDERE LINIEN IM DREIECK
Anwendung: Die Seitenhalbierenden im Dreieck BESONDERE LINIEN IM DREIECK C Die drei Seitenhalbierenden sa, sb und sc schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt S. Die Höhen im Dreieck C sc a Die drei Höhen ha, hb und hc schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt H. Mb hc Ma S ist der Schwerpunkt des Dreieckes. . b ha sa S sb . H ist der Höhenschnittpunkt. H hb A c S . Mc B ... aus-balancieren! A B C Zeichne die drei denkbaren Höhen(linien) ha, hb und hc ins Dreieck ein! Fertig, dann zurück! ... KLICK! Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierende jeweils im Verhältnis 2:1. Zeichne die drei denkbaren Seitenhalbierenden sa, sb und sc ins Dreieck ein! Fertig, dann zurück! ... KLICK! 2 a Mb Ma b 1 1 Die Mittelsenkrechten auf den Seiten des Dreiecks 2 S CS : SMc = 2 : 1 1 2 C A c AS : SMa = 2 : 1 Mc B BS : SMb = 2 : 1 Zeichne die drei denkbaren Winkelhalbierenden w𝛂, w𝛃 und w𝛄 ins Dreieck ein! Fertig, dann zurück! ... KLICK! a Die drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt M. Mb Ma . mb . Die Winkelhalbierenden im Dreieck b M C ma . mc Die drei Winkelhalbierenden w𝛂, w𝛃 und w𝛄 schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt W. A 𝛂𝛂 𝛃𝛃 𝛄𝛄 c B Zeichne die drei denkbaren Mittelsenkrechten ma, mb und mc ins Dreieck ein! Fertig, dann zurück! ... KLICK! 𝛂/2 𝛃/2 𝛄/2 Mc w𝛂 w𝛃 M ist der Mittelpunkt des Umkreises. W w𝛄 W ist der Mittelpunkt des Inkreises. Hier spielt die Symmetrie jeweils eine entscheidende Rolle. B A Erkennst du den Zusammenhang mit dem Thema der Folie „Der verlorene Kreismittelpunkt“? 1 17

19 Der verlorene MITTELPUNKT
Anwendung: Von diesem Kreis ist der Mittelpunkt verloren gegangen. Der verlorene MITTELPUNKT Kannst du den Mittelpunkt wieder finden? Konstruktion: Kleine Hilfen Recherchiere zuerst, wie der Mittelpunkt eines Kreises rekonstruiert werden kann! Zeichnerische Hilfe(n): H1 M A M A B B H2 Mittelsenkrechte B Ein Begriff: Symmetrie A Aus Gründen der Symmetrie muss jede verlängerte Mittelsenkrechte einer Kreissehne immer ein Kreisdurchmesser sein. Ermittle zeichnerisch auf deinem AB zu Folie 18 den Mittelpunkt! AB fertig, dann hier Kontrolle! ... KLICK! Ein verwandtes Thema: (d.h.... durch den Mittelpunkt gehen) Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Dreieck Zwei Kreisdurchmesser schneiden sich im (gesuchten) Mittelpunkt des Kreises. 1

20 Die WINKELSUMME im Dreieck
Anwendung: Die WINKELSUMME im Dreieck C Dreieck 1: Dreieck 2: 𝛄𝛄 Dreieck 3: C A B C 𝛂 𝛃𝛃 𝛄𝛄 𝛄𝛄 𝛂 𝛃𝛃 𝛃𝛃 𝛂 B A A B Dieser Satz ist bisher nur eine (starke) Vermutung. Dreieck: 1 2 3 𝛂 42° 34° 𝛃 73° 114° 27° 𝛄 63° 33° 112° 𝛂 + 𝛃 +𝛄 178° 181° Jedes Vieleck hat genau so viele Innenwinkel wie Eckpunkte. Kennst du einen allgemeinen Beweis für diese Vermutung? Gib mal in deinen Internetbrowser das Suchwort ‚Innenwinkel‘ ein. Klicke hier erst weiter, wenn du auf einen Beweis für die Innenwinkel des Dreieckes gestoßen bist.! KLICK! Die Eckpunkte des Vieleckes sind dabei die Scheitelpunkte des innen liegenden Winkels. Der nebenstehende Satz gilt nur für Dreiecke. Beweis: Vermutung: 𝛂 + 𝛃 + 𝛄 = 180° 𝛂 𝛃𝛃 𝛄𝛄 Ermittle jetzt die Summe der drei Innenwinkel in jedem deiner Dreiecke! Formuliere auch eine Vermutung! Komm dann zurück und schau unsere Ergebnisse an! ... KLICK! 𝛂‘ + 𝛃‘ + 𝛄 = 180° Die Summe aller drei Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180°. Auf deinem AB zu Folie 19 siehst du drei verschiedene Dreiecke. Miss deren Winkel und trage die Messergebnisse in die Tabelle ein! Größe von allen Winkeln ermittelt? Komm zurück und schau unsere Ergebnisse an! KLICK! 𝛂 = 𝛂‘ 𝛃 = 𝛃‘ Die Abweichungen in unserer Tabelle sind auf Fehler beim Anlegen des Geodreiecks oder auf Ablesefehler zurück zu führen. 𝛂‘ 𝛃‘ Wechselwinkel Wie groß ist wohl die Summe der Innenwinkel in Vierecken? Weshalb? Auf der nächsten Seite kannst du es sehen. 360° 1

21 Die WINKELSUMME im Viereck
Anwendung: Die WINKELSUMME im Viereck Zerlege das Viereck in zwei Dreiecke! Bei jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°. Verfolge die zwei Beweisführungen auf dem Bildschirm genau! Vollziehe aus dem Gedächtnis heraus diese Schritte dann auf dem AB zu Folie 20! 2 ∙ 180° = 360° 180° Es geht auch aufwändiger: 180° leicht verständlich! 𝛄‘ 𝛄 Die Summe aller vier Innenwinkel in einem allgemeinen Viereck beträgt immer 360°. 𝞭 𝞭‘ Vollkreis: 𝛂‘ + 𝛃 + 𝛄‘ + 𝞭‘ = 360° 𝞭 = 𝞭‘ weil: Parallelverschiebung 𝛂 𝛂‘ 𝛃 𝛂 = 𝛂‘ weil: Wechselwinkel 𝛄 = 𝛄‘ weil: Wechselwinkel 𝛂 + 𝛃 + 𝛄 + 𝞭 = 360° 1

22 Die WINKELSUMME im n-Eck (Vieleck)
Weiterführender Lernstoff: Die Winkel mit Scheitelpunkt P bilden zusammen einen Vollwinkel (360°). Sie zählen nicht zu den Innenwinkeln des Vieleckes. Die WINKELSUMME im n-Eck (Vieleck) Ein Vieleck mit n-Ecken hat auch n Innenwinkel. Von jedem beliebigen Punkt P aus innerhalb eines Vieleckes (n-Eckes) kannst du dieses in (Teil)Dreiecke zerlegen: Du kennst jetzt alle Voraussetzungen, um die Summe der Innenwinkel konkret zu berechnen. Viel- ecke: n-Eck Winkelsumme aller Dreiecke: abzügl. Summe Winkel an P: Summe aller Innenwinkel: In einem Viereck entstehen so vier Teildreiecke. 3-Eck 4-Eck 7-Eck 9-Eck 12-Eck 15-Eck mal ° ° 3 mal 180° 4 7 9 12 15 - 360° 180° Gehe zum ‚AB zu Folie 21‘ ! Zeichne in jedem Vieleck die entstehenden Dreiecke ein! Wieviel Dreiecke entstehen jeweils? Kontrolliere dann am Bildschirm! ... KLICK! 360° Voll-winkel P 900° 1260° 1800° Die Summe der Innenwinkels jedes Teildreiecks beträgt 180°. (Folie 19 / 20 ) Färbe die Winkel rot ein, die nicht zur Summe der Innenwinkel des Vieleckes zählen! Wie groß ist die Summe der roten Winkel (rund um Scheitelpunkt P)? Kontrolliere dann am Bildschirm! 2340° Gib den Sinn, der sich für das n-Eck ergibt, in Form einer sprachlichen Formulierung wieder! n mal 180° - 360° Berechne auf deinem AB die Summe der Innenwinkel (zuerst konkret und dann allgemein) Kontrolliere dann am Bildschirm! Ich multipliziere 180° mit der Anzahl der Ecken des Vieleckes und subtrahiere dann 360°. Voll-winkel Merke dir, wie diese Regel entstanden ist, dann musst du keine Formel behalten In einem Siebeneck ent-stehen so 7 Teildreiecke. , denn du hast die Zusammenhänge verstanden. n•180°- 360° P S≮i = n •180° ° Kanst du die obige ‚Formel‘ durch eine Umformung eleganter ausdrücken? Kontrolliere dann am Bildschirm! ... KLICK! S≮i = (n - 2) •180° S≮i = n •180° - 2•180° Die Anzahl der Dreiecke entspricht der Anzahl n der Ecken im Vieleck. (n ist hier ein Platzhalter.) In dieser Formel selbst kannst du ihre Entstehung nicht mehr ablesen. Du müsstest sie auswendig lernen. 1

23 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 1

24 1

25 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus 1 START