Zusammengestellt von Mag. Raimund Hermann Konfidenzintervall Zusammengestellt von Mag. Raimund Hermann

Beispiel 5 In einer Meinungsumfrage werden 400 Personen befragt, ob sie die Partei A wählen werden. Lediglich 20 Personen geben an, dass sie die Partei wählen werden. Da zum Einzug ins Parlament ein Stimmanteil von zumindest 4% notwendig ist, stellt sich natürlich die Frage, ob die Partei A den Einzug ins Parlament schaffen wird.

Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Anzahl X der Befragten, die angeben die Partei A zu wählen, ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n = 400 und dem unbekannten Anteilswert p.

Punktschätzer Zunächst berechnen wir eine Punktschätzung von p.

Was ist ein Konfidenzintervall Der wahre Wert des relativen Anteils p kann sowohl kleiner, als auch größer als der Punktschätzer sein. Wünschenswert ist ein Intervall [p1; p2] , sodass der unbekannte Anteilswert p mit der Wahrscheinlichkeit g = 95% in diesem Intervall liegt. Dieses Intervall heißt Konfidenzintervall (Vertrauensbereich).

Die untere Grenze (1) Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 20 Befragte angeben die Partei A zu wählen, wird kleiner, wenn sich der Anteilswert verringert. Je kleiner der Anteilswert ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass mindestens 20 Befragte angeben Partei A zu wählen. Beachte dieses Diagramm.

Die untere Grenze (2) Somit ist die untere Grenze der kleinste Anteilswert, bei dem noch angenommen wird, dass mindestens 20 Befragte angeben die Partei A zu wählen. Für kleinere Werte von p erscheint dies zu unwahrscheinlich, da die Wahrscheinlichkeit unter 2,5% fällt. (Siehe dieses Diagramm) Selbst bei einem Stimmenanteil von nur 3,1 % beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich in der Stichprobe mindestens 20 Personen befinden, noch 2,5%.

Die obere Grenze (1) Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 20 Befragte angeben die Partei A zu wählen, wird kleiner, wenn sich der Anteilswert erhöht. Je größer der Anteilswert ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass höchstens 20 Befragte angeben Partei A zu wählen. Beachte dieses Diagramm.

Die obere Grenze (2) Somit ist die obere Grenze der größte Anteilswert, bei dem noch angenommen wird, dass höchstens 20 Befragte angeben die Partei A zu wählen. Für größere Werte von erscheint dies zu unwahrscheinlich, da die Wahrscheinlichkeit unter 2,5% fällt. (Siehe dieses Diagramm) Sogar bei einem Stimmenanteil von 7,6 % beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich in der Stichprobe höchstens 20 Personen befinden, noch 2,5%

Das Ergebnis Im Intervall [0,03085; 0,07617] liegt der unbekannte Anteil p mit 95%iger Sicherheit. Aufgrund der Befragung von 400 Personen, kann die Partei mit 95% iger Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass der unbekannte Wähleranteil zwischen 3,1% und 7,6% liegt. Der Einzug ins Parlament ist daher ungewiss.

ENDE

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