508.535 Satellitengeodäsie Keplerbahnen Torsten Mayer-Gürr

Ziel: Satellitenbahn bestimmen Auf welcher Bahn bewegt sich der Satellit? Wo befindet sich der Satellit zu welchem Zeitpunkt auf der Bahn? => Keplerelemente Annahme: Erde als Punktmasse 10.03.2015

Bewegungsgleichung Newtonsche Bewegungsgleichung Gravitationsgesetz gleichsetzen z y Lege das Zentrum des Koordinatensys. in den Mittelpunkt der Erde: x 10.03.2015

Bewegungsgleichung des Keplerproblems Newtonsche Bewegungsgleichung y x z Gravitationsgesetz gleichsetzen Lege das Zentrum des Koordinatensys. in den Mittelpunkt der Erde: 10.03.2015

Bewegungsgleichung des Keplerproblems Bewegungsgleichung des Keplerproblems: Differentialgleichung 2. Ordnung Bestimmt bis auf 6 Integrationskonstanten => Keplerelemente y x z 10.03.2015

Keplergesetze Wir wollen zeigen, dass aus der Bewegungsgleichung des Keplerproblems die drei Keplerschen Gesetze folgen: 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufszeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. 10.03.2015

Keplerelemente Die Bahn kann beschrieben werden durch: Form der Ellipse Grosse Halbachse Exzentrizität Perigäum 10.03.2015

Keplerelemente Die Bahn kann beschrieben werden durch: Form der Ellipse Lage der Ellipse Grosse Halbachse Perigäum Exzentrizität Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums 3. Zeit Perigäums- durchgangszeit Knotenlinie 10.03.2015

Zusammenfassung Keplergesetze: Keplerelemente: 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Zeit 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. 10.03.2015

Keplerproblem Bewegungsgleichung Nebenrechnung: Bahndrehimpuls ist konstant Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene 10.03.2015

Flächensatz Flächenelement 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 10.03.2015

Zwischenfazit Keplergesetze: Keplerelemente: 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Zeit 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. 10.03.2015

Transformation in das Bahnsystem Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Knotenlinie 10.03.2015

Transformation in das Bahnsystem Inklination Knotenlinie 10.03.2015

Transformation in das Bahnsystem Inklination Knotenlinie 10.03.2015

Transformation in das Bahnsystem Knotenlinie 10.03.2015

Transformation in das Bahnsystem Knotenlinie 10.03.2015

Transformation in das Bahnsystem Argument des Perigäums (noch nicht definiert) C hängt nicht von ω ab => ω (noch) beliebig wählbar 10.03.2015

Zwischenfazit Keplergesetze: Keplerelemente: 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Zeit 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. 10.03.2015

Transformation in das Bahnsystem Position im Bahnsystem Knotenlinie 10.03.2015

Position und Geschwindigkeit Drehimpuls Geschwindigkeit Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit 10.03.2015

Etliche Rechenschritte später… Herleitung Bewegungsgleichung Ziel: Festlegung von ω Etliche Rechenschritte später… 10.03.2015

Herleitung Bewegungsgleichung Ziel: Festlegung von ω Graßman-Identität: 10.03.2015

Herleitung A Integrationskonstante (Lenzscher Vektor): Liegt in der Bahnebene Drehung des Koordinatensystems, so dass die x-Achse (P) in Richtung A zeigt => ω festgelegt Vorschau: e ist auch ein Keplerelement, bis jetzt wissen wir noch nichts darüber! 10.03.2015

Bestimmung der Geschwindigkeit Position Geschwindigkeit 10.03.2015

Bestimmung des Abstands Position Geschwindigkeit 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt gleichsetzen umstellen Ellipsengleichung 10.03.2015

Ellipsen 10.03.2015

Ellipse 10.03.2015

Ellipse Brennpunkt 10.03.2015

Ellipse 10.03.2015

Ellipse 10.03.2015

Ellipse 10.03.2015

Ellipse 10.03.2015

Ellipse b a E 10.03.2015

Ellipse b a E 10.03.2015

Ellipse a b a E 10.03.2015

Ellipse x p a E 10.03.2015

lineare Exzentrizität Ellipse Größe Bezeichnung große Halbachse kleine Halbachse lineare Exzentrizität Exzentrizität Halbparameter x p a E 10.03.2015

Ellipse Erinnerung: Große Abstand des Satelliten: Halbachse (Ellipsengleichung) Exzentrizität 10.03.2015

Kegelschnitte Polargleichung für Kegelschnitte Wikipedia 10.03.2015

Kegelschnitte Polargleichung für Kegelschnitte Ellipse: 10.03.2015

Kegelschnitte Polargleichung für Kegelschnitte Parabel: 10.03.2015

Kegelschnitte Polargleichung für Kegelschnitte Hyperbel: 10.03.2015

Zwischenfazit Keplergesetze: Keplerelemente: 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Zeit 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. 10.03.2015

Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse: a Exzentrizität: e Geschwindigkeit Position Abstand Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Transformation in das Inertialsystem 10.03.2015

Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie noch nicht! Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse: a Exzentrizität: e Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie noch nicht! Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: 10.03.2015

Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve 10.03.2015

Herleitung der Keplergleichung Abstand - Integration schwierig - Liefert nur die Umkehrung Integration Variablensubstitution -> Exzentrische Anomalie E (≠ lineare Exzentrizität E) 10.03.2015

Kreisbahn 10.03.2015

Ellipse 10.03.2015

Ellipse 10.03.2015

Ellipse 10.03.2015

Exzentrische Anomalie Ellipsengleichung Wahre Anomalie <=> Exzentrische Anomalie 10.03.2015

Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution benötigt Einige Nebenrechnungen später… 10.03.2015

Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution benötigt Umstellen 10.03.2015

Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution + nach kurzer Umformung folgt... 10.03.2015

Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution Keplergleichung 10.03.2015

Umlaufzeit Keplergleichung Ein Umlauf: Umlaufszeit 10.03.2015

Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab Umlaufzeit Keplergleichung Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab Ein Umlauf: Umlaufszeit 10.03.2015

Umlaufzeit Keplergleichung Ein Umlauf: Umlaufszeiten zweier Planeten 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Umlaufszeit Mittlere Bewegung (mittlere Winkelgeschwindigkeit) Mittlere Anomalie Umrechnung 10.03.2015

Anomalien Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit: 10.03.2015

Anomalien Mittlere Anomalie Keplergleichung Exzentrische Anomalie Startwert: Iteration: Alle Winkel im Bogenmaß! Wahre Anomalie 10.03.2015

Zwischenfazit Keplergesetze: Keplerelemente: 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Zeit 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. 10.03.2015