Auf dem Weg zum Mars W kin = 1 2 m v 2 Betrachten wir zunächst einmal die kinetische Energie: Das gilt für alle Umlaufbahnen – aber wie hängt die Energie mit dem Bahnradius zusammen? Hier hilft es, sich die Kräfte anzuschauen: F G = F Z G⋅ M⋅m r 2 =m⋅ v 2 r v 2 =G⋅ M r Damit ist W kin = 1 2 ⋅G⋅ M⋅m r und die kinetische Energie wird zu Das gilt allgemein im Gravitationsfeld – wie sieht es auf der Reise von der Erde zum Mars aus?

Auf dem Weg zum Mars Jetzt interessiert uns die Differenz der kinetischen Energie: Δ W kin = W kinErde − W kinMars Δ W kin = 1 2 ⋅G⋅ M⋅m r Erde − 1 2 ⋅G⋅ M⋅m r Mars Da können wir ausklammern: Δ W kin = 1 2 ⋅G⋅M⋅m⋅ 1 r Erde − 1 r Mars Weil der Radius der Marsbahn größer ist als der der Erdbahn, kommt hier was POSITIVES heraus – wir gewinnen also Energie! Leider ist der Flug zum Mars doch nicht kostenlos, denn es gibt noch die potentielle Energie.

Auf dem Weg zum Mars Die potentielle Energie lässt sich beschreiben mit der Formel: W pot =−G⋅ M⋅m r Dabei ist M die Masse des Zentralkörpers (Sonne), m die Masse des umlaufenden Körpers und r der Radius der Umlaufbahn. Den Nullpunkt haben wir so gewählt, dass für einen unendlich großen Abstand die Energie = 0 wird. Graphisch dargestellt ergibt sich ein solcher Trichter: Wenn ich jetzt von der Erde zum Mars will, muss ich (z.B entlang der roten Linie) aus dem Trichter hinauskriechen. Dabei muss ich Arbeit hineinstecken. In der Formel sieht das so aus: Δ W pot =−G⋅ M⋅m r Erde − −G⋅ M⋅m r Mars Δ W pot =−G⋅M⋅m⋅ 1 r Erde − 1 r Mars und wenn wir wieder ausklammern: Das bleibt leider negativ – es kostet also!

Auf dem Weg zum Mars Kommen wir zur Bilanz: Wir gewinnen kinetische Energie: Δ W kin = 1 2 ⋅G⋅M⋅m⋅ 1 r Erde − 1 r Mars Wir müssen potentielle Energie hinzufügen: Δ W pot =−G⋅M⋅m⋅ 1 r Erde − 1 r Mars Damit bleibt: ΔW=Δ W kin +Δ W pot ΔW=− 1 2 ⋅G⋅M⋅m⋅ 1 r Erde − 1 r Mars Das ist zwar nur halb soviel wie die potentielle Energie aber – es kostet! Fertig? Schön wär's!

Auf dem Weg zum Mars GUTE REISE!! Leider gilt das alles nur, wenn wir uns schon vor der Erde befreit haben, also kommt noch die potentielle Energie für den Start von der Erdoberfläche dazu: Δ W pot =−G⋅M⋅m⋅ 1 R Erde − 1 ∞ Hierbei ist jetzt M die Erdmasse, R ist der Radius der Erde (also 6370 km). Weil wir uns ja ganz von der Erde lösen wollen, können wir als zweiten Radius „unendlich“ einsetzen. Weil 1 ∞ =0 (sagt sowas nicht im Mathe-Unterricht) wird die Arbeit zu Δ W pot =−G⋅M⋅m⋅ 1 R Erde Das kommt noch zur Energie der vorigen Folie hinzu. Damit haben wir es jetzt aber! Jetzt nur noch Zahlen einsetzen und GUTE REISE!!