Die Wahrscheinlichkeit ERSTE ANNÄHERUNG AN DIE WAHRSCHEINLICHKEIT Übersetzung: / Tradotto da:

INHALT Einführung in die Wahrscheinlichkeit Zufallsereignisse Rechenbeispiele zur Wahrscheinlichkeit Wert der Wahrscheinlichkeit Das Gesetz der großen Zahlen Inkompatible Ereignisse und kompatible Ereignisse Komplementäre Ereignisse Zusammengesetzte Ereignisse Bedingte Wahrscheinlichkeit und abhängige Ereignisse

Einführung in die Wahrscheinlichkeit Die meisten Phänomene, die wir täglich erleben, können sich auf unterschiedliche Weise zeigen, aber es ist fast immer unmöglich vorher zu sagen, wie sie jedes Mal geschehen. Wenn man eine Münze wirft und das Ergebnis (Kopf oder Zahl) notiert, hat man ein so genanntes einfaches Zufallsexperiment oder ein elementares Zufallsexperiment durchgeführt. Vor dem Münzwurf sind beide Ergebnisse möglich, sodass das Ergebnis des Experiment im Voraus unsicher ist. Ähnliche Situationen ergeben sich beim Würfeln, beim Ziehen der Nummern bei einer Tombola usw. 3

Zufallsereignisse Ein Zufallsereignis (oder aleatorisches Ereignis) kann sein: unmöglich, wie z.B. die Zahl 100 bei einer Tombola ziehen sicher, wie das Erhalten einer Zahl zwischen 1 und 6 beim Würfeln möglich, wie z.B. eine weiße Kugel aus einer Schachtel mit weißen und roten Kugeln zu ziehen 4

Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Eine erste Definition, die als die „klassische“ bezeichnet wird, ist jene, welche die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses als das Verhältnis zwischen der Anzahl der günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Fälle definiert, sofern sie dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, einzutreten. 5

Beispiele zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl, welche zu einem Ereignis E gehört und den Erwartungswert seines Eintretens ausdrückt. Machen wir ein Beispiel: Wenn ich eine Münze werfe, wie groß ist da die Wahrscheinlichkeit, dass „Zahl“ geworfen wird? Es gibt 2 mögliche Fälle: „Kopf“ oder „Zahl“. Es gibt 1 günstigen Fall: „Zahl“. Die Wahrscheinlichkeit, dass „Zahl“ geworfen wird, beträgt also 1 zu 2, also 1/2. 6

Beispiele zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit Noch ein Beispiel: Wenn ich würfle, wie groß ist da die Wahr- scheinlichkeit, dass ich eine „gerade Zahl“ würfle? Es gibt 6 mögliche Fälle (so viele wie Zahlen gewürfelt werden können). Es gibt 3 günstige Fälle (also die Zahlen 2, 4 oder 6). Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird, beträgt also 3 zu 6, also 3/6. 7

Vom Wahrscheinlichkeitsgrad zum Prozentwert Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, kann wie folgt ausgedrückt werden: Als Bruch, z.B. 3 zu 6: Wahrscheinlichkeit=3/6 3 = günstige Fälle 6 = mögliche Fälle Als Dezimalzahl zwischen 0 und 1. Z.B.: 3/6 = 0,5 Als Prozentwert, zum Beispiel: 3/6 = 0,5 0,5x100 = 50% also 3/6 = 0,5 = 50% 8

Wert der Wahrscheinlichkeit Wert der Wahrscheinlichkeit (P) P=0 0<P<1 P=1 Die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Zufallsereignisses ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1. Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Zufallsereignisses ist 1. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Zufalls- ereignisses ist 0. 9

Wert der Wahrscheinlichkeit Zum besseren Verständnis für das Verhältnis zwischen dem Eintreten oder nicht Eintreten der Ereignisse und für die jeweilige Zuverlässigkeitsschwelle können wir die folgende Skala verwenden: Unmögliches Ereignis Wenig wahrscheinliches Ereignis Unsicheres Ereignis Sehr wahrschein-liches Ereignis Sicheres Ereignis 10

Das Gesetz der großen Zahlen 1/1 Das wichtigste Gesetz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist das Gesetz der großen Zahlen. Es stellt eine Beziehung zwischen der theoretischen Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der statistischen Häufigkeit, mit der es eintritt, her. Beispiel: Beim Münzwurf sind diese Ereignisse möglich: E1=«Kopf» und E2=«Zahl» Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten sind: P(E1)=1/2 und P(E2)=1/2 Selbstverständlich können wir nicht mit Sicherheit sagen, dass bei zwei Münzwürfen, bei dem beim ersten „Kopf“ geworfen wird, beim zweiten Wurf sicher „Zahl“ erscheint! 11

Das Gesetz der großen Zahlen 1/2 Wir nehmen an, dass wir 10 Mal eine Münze werfen und dabei 6 Mal „Kopf“ und 4 Mal „Zahl“ erhalten. Wir können also sagen: Die Anzahl der Male, wie oft ein Ereignis E während einer be- stimmten Anzahl n von durchgeführten Versuchen eingetreten ist, wird absolute Häufigkeit des Ereignisses genannt. Das Verhältnis zwischen der absoluten Häufigkeit des Ereignisses E und der Anzahl n der durchgeführten Versuche heißt relative Häufigkeit F(E) des Ereignisses: In unserem Fall können wir Folgendes schreiben: «Kopf geworfen» P(E1)=1/2, F(E1)=6/10 «Zahl geworfen» P(E2)=1/2, F(E2)=4/10 12

Das Gesetz der großen Zahlen 1/3 Wenn man eine Münze sehr oft wirft, kann man beobachten, dass sich der Wert der relativen Häufigkeit an den Wert der Wahrscheinlichkeit annähert. Deshalb kann man sagen: Bei einer Versuchreihe, die sehr oft wiederholt wird und immer unter denselben Voraussetzungen stattfindet, nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr an die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst an. Bei zunehmender Versuchszahl tendiert diese Annäherung dazu, mit der mathematischen Wahrscheinlichkeit überein- zustimmen. Diese Definition führt zum frequentistischen Wahr- scheinlichkeitsbegriff. 13

Einführung des Begriffs der inkompatiblen Ereignisse 1/1 Nehmen wir an, wir würfeln. Dabei betrachten wir zwei mögliche Ereignisse: E1: «4 wird gewürfelt» E2: «1 wird gewürfelt» Es ist klar, dass nur eines der beiden Ereignisse eintreten kann, da bei einem einzigen Wurf 4 und 1 nicht gleichzeitig auftreten können. Das Eintreten von E1 schließt also aus, dass E2 eintritt. Es ist aber auch möglich, dass keines der beiden Ereignisse eintrifft, da auch 3, 2, 5 oder 6 gewürfelt werden könnte. Solche Ereignisse nennt man inkompatibel. Zwei Zufallsereignisse E1 und E2 sind inkompatibel, wenn das Eintreten des einen verhindert, dass das andere eintritt und wenn es auch sein kann, dass keines von beiden eintritt. 14

Inkompatible Ereignisse 1/2 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei zwei inkompatiblen Ereignissen, dass eines der beiden eintritt? Denken wir nochmals an das Beispiel: E1: «4 wird gewürfelt» P(E1)=1/6 E2: «1 wird gewürfelt» P(E2)=1/6 Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses «es wird 4 oder 1 ge- würfelt» beträgt: P(E1oder E2)=1/6+1/6=2/6=1/3 Wenn zwei inkompatible Zufallsereignisse, E1 und E2, gegeben sind, entspricht die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden eintritt der Summe der Wahrscheinlichkeiten für jedes einzelne der zwei Ereignisse: P(E1oder E2)=P(E1)+P(E2) 15

Kompatible Ereignisse 1/1 Nehmen wir an, es wird eine Karte aus einem Stapel napoletanischer Karten gezogen. Betrachten wir zwei mögliche Ereignisse: E1: «es wird ein Schwert gezogen» E2: «es wird ein Ass gezogen» Beide Ereignisse können gleichzeitig stattfinden: Wenn die Karte Schwert-Ass gezogen wird, tritt sowohl das Ereignis E1 (es wird eine Karte mit Schwertern gezogen) als auch das Ereignis E2 (es wird ein Ass gezogen) ein. Solche Ereignisse werden kompatibel genannt. Zwei Zufallsereignisse E1 und E2 sind kompatibel, wenn das Eintreten des einen nicht das Eintreten des anderen ausschließt und wenn es also möglich ist, dass beide gleichzeitig auftreten. 16

Kompatible Ereignisse 1/2 Angenommen, es sind zwei kompatible Zufallsereignisse gegeben: Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt eines der beiden ein? Betrachten wir nochmals das Beispiel: E1: «es wird ein Schwert gezogen» p(E1)=10/40=1/4 E2: «es wird ein Ass gezogen» p(E2)= 4/40=1/10 Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses «es wird ein Schwert oder ein Ass gezogen» zu berechnen, müssen wir die beiden Wahrscheinlich- keiten (E1+E2) addieren und die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Ereignisses «es wird das Schwert-Ass gezogen» von der Wahrschein- lichkeit p(E)=1/40 subtrahieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden kompatiblen Ereignisse eintritt, beträgt: P(E1oder E2)=P(E1)+P(E2)-P(E)=1/4+1/10-1/40=13/40 Wenn zwei kompatible Ereignisse E1 und E2 gegeben sind, entspricht die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden eintritt der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes einzelnen der beiden Ereignisse minus der Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten: P(E1oder E2)=P(E1)+P(E2)-P(E1e E2) 17

Komplementäre Ereignisse 1/2 Wir nehmen an, dass wir einen Buchstaben aus einem Säckchen ziehen, das die folgenden Buchstaben enthält: Wir betrachten zwei mögliche Ereignisse: E1: «einen Konsonanten ziehen» E2: «einen Vokal ziehen» Die beiden Ereignisse sind inkompatibel: Das Auftreten von E1 schließt das Auftreten von E2 aus, aber eines der beiden tritt mit Sicherheit ein; das Ereignis «einen Konsonanten oder einen Vokal ziehen» ist ein sicheres Ereignis. Solche Ereignisse werden komplementäre Ereignisse genannt. S T A T I S T I C A Zwei Zufallsereignisse E1 und E2 sind komplementär, wenn das Auftreten eines Ereignisses das Eintreten des anderen ausschließt, aber wenn eines der beiden mit Sicherheit eintritt. 18

Komplementäre Ereignisse 2/2 Betrachten wir nochmals das Beispiel «Ziehung eines Buchstabens aus einem Säckchen, das die Buchstaben S T A T I S T I C A enthält» und berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten: E1: «einen Konsonanten ziehen» P(E1)= 6/10 E2: «einen Vokal ziehen» P(E2)= 4/10 Wenn wir das Ereignis E «einen Konsonanten oder einen Vokal ziehen» berücksichtigen, erhalten wir ein sicheres Ereignis, für das Folgendes gilt P(E)=1; wenn wir die Wahrscheinlichkeiten addieren erhalten wir genau das: P(E)=P(E1)+P(E2)=6/10+4/10=1 Zwei komplementäre Ereignisse sind immer inkompatibel, aber zwei inkompatible Ereignisse sind nicht unbedingt kom- plementär. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von zwei komple- mentären Ereignissen beträgt 1. P(E)=P(E1)+P(E2)=1 19

Zusammengesetzte Ereignisse Wenn man eine Münze wirft, können zwei einfache Ereignisse eintreten E1 = Kopf ; E2 = Zahl Wirft man dieselbe Münze zwei Mal, sind die folgenden Ereignisse möglich E1,1=(K, K); E1,2=(K, Z); E2,1=(Z, K); E2,2=(Z, Z) Ein Ereignis, das in einfache Ereignisse unterteilt werden kann, ist ein zusammengesetztes Ereignis. 20

Die Wahrscheinlichkeit von voneinander unabhängigen Ereignissen Ein Ereignis E2 ist unabhängig von einem Ereignis E1, wenn das Eintreten von E1 nicht die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von E2 beeinflusst. Wenn wir einen Behälter mit 10 Kugeln haben, die von 1 bis 10 nummeriert sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass wir die Kugel Nr. 3 oder Nr. 10 ziehen 1/10. Wenn die Kugel Nr. 3 gezogen wird und wieder zurück in den Behälter gelegt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten Ziehung die Nr. 8 zu ziehen immer noch bei 1/10. Die beiden Ereignisse sind unabhängig und werden auch «gedächtnislose Ereignisse» genannt. Die Ziehung mit Wiederholung (also mit Zurücklegen) führt zu unabhängigen Ereignissen, da die Zusammensetzung im Behälter immer gleich bleibt bei den verschiedenen nachfolgenden Ziehung und da sich die Wahrscheinlichkeit der berücksichtigten Ereignisse nicht ändert. 21

Die Wahrscheinlichkeit von voneinander unabhängigen Ereignissen Wenn die gezogene Kugel Nr. 3 jedoch nicht wieder in den Be- hälter gelegt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten Ziehung die Nr. 8 zu ziehen bei 1/9. Die Wahrscheinlichkeit hat sich geändert und die Ereignisse sind voneinander abhängig geworden. Die Ziehung ohne Wiederholung führt zu abhängigen Ereignissen. 22

Die bedingte Wahrscheinlichkeit 1/2 Wenn es sich um abhängige Ereignisse handelt, muss man den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit einführen. In Bezug auf zwei Ereignisse E1 und E2 wird angenommen, dass E1 bereits eingetreten ist: Wenn man nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen will, die als P(E2|E1) angegeben wird, mit der das Ereignis E2 eintritt unter der Bedingung, dass E1 eingetreten ist, wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit dann? Nehmen wir nochmals das vorhergehende Beispiel der wieder- holten Ziehungen, aber ohne Zurücklegen der Kugeln Nr. 3 und Nr. 8: die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(E2 und E1) = 1/90, da 90 Fälle möglich sind (diese ergeben sich, indem man jede der 10 Kugeln bei der ersten Ziehung mit jeder der 9 verbleibenden der zweiten Ziehung verbindet), während es nur einen einzigen günstigen Fall gibt (Ziehung der Nr. 3 bei der ersten Ziehung und der Nr. 8 bei der zweiten); 23

Die bedingte Wahrscheinlichkeit 2/2 Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E1 bei der ersten Ziehung beträgt 1/10. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E2 bei der zweiten Ziehung, die vom Eintreten des Ereignisses E1 bei der ersten abhängt, also die Wahrscheinlichkeit E2|E1, beträgt 1/9, da 9 Fälle möglich sind, aber nur einer günstig ist (Ziehen der Nr. 8). Deshalb 1/9= 1/90 / 1/10 P(E2|E1)=P(E2 und E1)/P(E1) 24

Subjektivistische Definition der Wahrscheinlichkeit In bestimmten Fällen sind die Voraussetzungen nicht gegeben, um die Wahrscheinlichkeit nach der klassischen oder fre- quentistischen Definition zu berechnen, wie z.B. wenn wir wissen wollen, welche Fußballmannschaft die Meisterschaft gewinnen wird wenn wir wissen wollen, ob eine neue Fernsehsendung erfolgreich sein wird oder nicht In solchen Fällen wird der subjektivistische Ansatz der Wahr- scheinlichkeit gewählt. Die subjektivistische Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird definiert als das Maß des Vertrauens, in dem eine Person aufgrund der ihr verfügbaren Informationen und aufgrund ihrer Meinung darauf vertraut, dass ein Ereignis eintritt. 25

…und jetzt… Gute Arbeit! Übersetzung: / Tradotto da: Rete per la promozione della cultura statistica