Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung Jahrgang 8 G- Kurs Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung Wenn dieses Symbol erscheint, musst du die Taste drücken, damit es weitergeht  

Du bist jetzt hier: . 1 Potenzen. 2 Zehnerpotenzen Du bist jetzt hier:  1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln 

Eine Potenz gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selber malgenommen wird: 4³ = 4 · 4 · 4 125 = 12 · 12 · 12 · 12 · 12 68 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 77 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 

Eine besondere Potenz ist die Quadratzahl Eine besondere Potenz ist die Quadratzahl. Hier ist die Hochzahl immer die 2. 42 = 4 · 4 122 = 12 · 12 62 = 6 · 6 Wir erinnern uns: Beim Quadrat ist die Fläche immer A = a · a = a² a A  

Man kann mit Potenzen rechnen, ohne diese jeweils auszuschreiben: Beispiel: 43 · 4 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44 Das geht doch auch direkt!? 44 · 4 = 45 Einmal „·4“ mehr, also … Das gilt, auch wenn es nicht „·4“, sondern „das Vierfache von“ heißt: Das Vierfache von 47 = 48 Das Vierfache, also „·4“! 4·4·4·4·4·4·4 ·4 also 8 mal   

(4 + 3)²+ 2 · 5 = 72 + 2 · 5 = 14 + 2 · 5 = 14 + 10 = 24 Beispiel: Für Potenzen gelten Vorfahrtregeln wie für „+“ , „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch. Zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Punkt- und zuletzt Strichrechnung. Beispiel: Zuerst KLammer (4 + 3)²+ 2 · 5 = 72 + 2 · 5 = Dann Potenz Dann „·“ und „:“ 14 + 2 · 5 = 14 + 10 = 24 Dann „+“ und „-“ 

Es gibt noch andere Auffälligkeiten! = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 34 · 35 = 39 Aha, ich muss also nur 4 + 5 = 9 rechnen 34 · 35 = 34+5 =39 Das ist ja viel weniger Arbeit! Das ist ‚ne Rechenregel! 74 · 78 = 74+8 = 712 Mit Buchstaben: xm · xn = xm+n   

Du bist jetzt hier:. 1 Potenzen . 2 Zehnerpotenzen Du bist jetzt hier: 1 Potenzen  2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln 

Eine weitere besondere Potenz ist die Zehnerpotenz Eine weitere besondere Potenz ist die Zehnerpotenz. Hier ist die Grundzahl immer die 10. 102 = 10 · 10 = 100 103 = 10 · 10 · 10 = 1000 107 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10000000 Bei genauer Betrachtung fällt auf, das die Hochzahl immer der Anzahl der Nullen entspricht! 

Übrigens  1 = 100 Eins 10 = 101 Zehn 100 = 102 Hundert 1 000 000 000 000 = 1012 Billionen 1 000 000 000 = 109 Milliarden 10 = 101 Zehn 100 = 102 Hundert 1000 = 103 Tausend 10 000 = 104 Zehn- Tausend 100 000 = 105 Hundert-Tausend 1 000 000 = 106 Millionen 10 000 000 = 107 Zehn- Millionen 100 000 000 = 108 Hundert-Millionen 10 000 000 000 = 1010 Zehn- Milliarden 100 000 000 000 = 1011 Hundert-Milliarden 10 000 000 000 000 = 1013 Zehn- Billionen 100 000 000 000 000 = 1014 Hundert-Billionen 1 000 000 000 000 000 = 1015 Billiarden 10 000 000 000 000 000 = 1016 Zehn- Billiarden 100 000 000 000 000 000 = 1017 Hundert- Billiarden 1 = 100 Eins Übrigens 

Du bist jetzt hier:. 1 Potenzen. 2 Zehnerpotenzen  Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen  3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln 

= 109 = 105 10 10 00000000 100000000 = 108 10000000 = 107 1000000 = 106 100000 10000 = 104 1000 = 103 100 = 102 = 101 Wir kennen: Neu! 10-1 = 1 = 100 0,1 0,01 10-2 = 0,001 10-3 = 0,0001 10-4 = 0,00001 10-5 = Über die Hochzahl können wir auch kleine Zahlen definieren! Die Hochzahl zeigt, wie oft das Komma von der 1 weg verschoben wird!  

Zehnerpotenzen mit negativem Exponent beschreiben den Rechenschritt „:10“ Wenn wir „:10“ als Bruch ausdrücken, können wir schreiben: 10-1 = = 0,1 1 10 10-2 = = 0,01 1 10 · 10 Und weiter gilt 10-3 = = 0,001 1 10 · 10 · 10 .. und so weiter! Die negative Hochzahl einer Zehnerpotenz gibt also an, wie oft durch 10 geteilt wird.  

Du bist jetzt hier:. 1 Potenzen. 2 Zehnerpotenzen Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen  4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln 

Grosse Zahlen mit Zehnerpotenzen Man kann sehr große Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken ! Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle ! 268900000000000 = 2689 · 1011 = 268,9 · 1012 11 Nullen, (11 Kommastellen)! = 26,89 · 1013 = 2,689 · 1014  

Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen Man kann sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken ! Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle, aber in die andere Richtung!! 0,0002689 = 2,689 · 10-4 = 26,89 · 10-5 4 Kommastellen = 268, 9 · 10-6 = 2689 · 10-7  

Du bist jetzt hier:. 1 Potenzen. 2 Zehnerpotenzen Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen  5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln 

Quadratwurzel 5² = 5 · 5 = 25 ? · ? = 16 ? = 16    Bisher haben wir das Ergebnis einer Potenzierung gesucht: Beispiel: 5² = 5 · 5 = 25 Jetzt haben wir das Ergebnis und suchen die Zahl, die mit sich selber malgenommen das Ergebnis ergibt. ? · ? = 16 Diese Berechnung hat eine bestimmte Schreibweise: ? = 16 2 Man sagt dazu: „Wurzel“, hier „Wurzel 16“.   

Quadratwurzel 16 = 4 denn 4 · 4 = 16 9 = 3 denn 3 · 3 = 9 25 = Aus dem 1 x 1 kennen wir schon verschiedene Ergebnisse Beispiel: 16 = 2 4 denn 4 · 4 = 16 9 = 2 3 denn 3 · 3 = 9 25 = 2 5 denn ..... Andere Zahlen gehen nicht glatt auf: 8 = 2 2,8284271247461900976033774484194... 5 = 2 2,2360679774997896964091736687313..   

Quadratwurzel Die Wurzel gilt nicht als Term, also „Rechenanweisung“, sondern als Zahl. Man könnte also schreiben: 1, 2, 9, 16, 5, 6, 7, 8, 81, 10, 11, = 2 oder: 1, 2, 3, 4, 25, 6, 7, 8, 9, 100, 11, = 2 9 = 2 3 Es ist also nicht nur 9 ist 3 usw. sondern 9 2 Damit liegt die Zahl zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 4. 2 7 (= 2,64575131106459...) ... und die Zahl zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 3.    

Quadratwurzel Man kann bei einigen Zahlen vorhersehen, ob das Ergebnis einer Wurzel eine „glatte“ Zahl ergibt: Beispiel: 16 = 4 2 36 = 6 2 1600 = 40 2 3600 = 60 2 aber: 160 = 12,64911064 2 aber: 360 = 18,97366596 2 16000 = 126,4911064 2 36000 = 189,7366596 2 Du kommst selber drauf. Achte auf die Anzahl der Nullen!   