Die Sinus-Funktionen Eine Einführung

Definitions- und Wertebereich Man definiert die Funktion y = sin x, mit x є R und y є R mit -1≤y≤1 Da Sinus eine „Winkelfunktion“ ist, wird normalerweise der „Sinus eines Winkels“ gebildet Um einen reellen Definitionsbereich zu schaffen, rechnet man Grad ° in das Bogenmaß um Definitions- und Wertebereich

Definitions- und Wertebereich Die allgemeine Verhältnisgleichung für das Umrechnen von Grad ins Bogenmaß lautet: in ° Im Bogenmaß Definitions- und Wertebereich

Berechne die wichtigsten Winkel im Bogenmaß: 0° 45° 90° 135° 180° 225° Winkel in ° 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° Winkel im Bogenmaß ¼ π = 0,7854 ½ π = 1,5708 ¾ π = 2,3562 π = 3,1416 1 ¼ π = 3,9270 1 ½ π = 4,7124 1 ¾ π = 5,4978 2 π = 6,2832

Mit Hilfe einer Tabellierung der Sinus-funktion und dem Graphen lässt sich die Funktion darstellen: X 0,25ϖ 0,5ϖ 0,75ϖ ϖ 1,25ϖ 1,5ϖ 1,75ϖ 2ϖ Sin x 0,00 0,71 1,00 -0,71 -1,00 Funktionsgraph

Die Werte werden nicht starr verbunden, es entsteht eine Art „Welle“ Funktionsgraph

Die Welle wiederholt sich mit einer Periodenlänge von 2ϖ Durch Anpassung der x-Achse mit vielfachen von ϖ wird es übersichtlicher: Funktionsgraph

Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (Schrittweite 0,25π) Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an. Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-) Funktionsgraph

Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π) x sin x 0,5π 1 0,75π 0,71 π 1,25π -0,71 1,5π -1 1,75π 2π 2,25π 2,5π 2,75π 3π 3,25π 3,5π 3,75π 4π x sin x −2π −1,75π 0,71 −1,5π 1 −1,25π − π −0,75π -0,71 −0,5π -1 −0,25π 0,25π Funktionsgraph

Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π) Die Sinusfunktion besitzt eine Periodizität mit einer Periodenlänge von 2ϖ Funktionsgraph

Funktionsgraph - Eigenschaften Die Sinusfunktion besitzt die Nullstellen …, −4π, −3π, −2π, −π, 0, π, 2π, 3π, …, allgemein k∙π mit k ∈ Z Der Maximalwert (1) wird erreicht für …, -7/2 π, -3/2 π, 1/2 π, 5/2 π, …, allgemein π/2 + k∙π mit k ∈ Z Der Minimalwert (−1) wird erreicht für …, -5/2 π, -1/2 π, 3/2 π, 7/2 π, …, allgemein 3/2 π + k∙π mit k ∈ Z Funktionsgraph - Eigenschaften

Funktionsgraph: y = a sin x Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = 3 sin x und g(x) = y = 0,5sin x im Intervall von -2π bis 2π (Schrittweite 0,25π) Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an. Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-) Funktionsgraph: y = a sin x

Funktionsgraph: y = a sin x Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = 3 sin x und g(x) = y = 0,5sin x x 3 sin x 0,5 sin x 0,5π 3 0,5 0,75π 2,12 0,35 π 1,25π -2,12 -0,35 1,5π -3 -0,5 1,75π 2π 2,25π 2,5π 2,75π 3π 3,25π 3,5π 3,75π 4π x 3 sin x 0,5 sin x −2π −1,75π 2,12 0,35 −1,5π 3 0,5 −1,25π − π −0,75π -2,12 -0,35 −0,5π -3 -0,5 −0,25π 0,25π Funktionsgraph: y = a sin x

Funktionsgraph: y = a sin x Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π) Funktionsgraph: y = a sin x

Funktionsgraph: y = a sin x Der Parameter a in der Form y = a sin x… Verändert Nullstellen oder Periodizität (2π) nicht Verändert den Maximalwert von 1 auf a Verändert den Minimalwert von −1 auf −a Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen Funktionsgraph: y = a sin x

Funktionsgraph: y = a sin x Der Parameter a in der Form y = a sin x… Verändert den Maximalwert von 1 auf a Verändert den Minimalwert von −1 auf −a Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen Man nennt die maximale Auslenkung einer Sinusförmige Welle auch Amplitude. y(max) = 1  Amplitude ist 1 y(max) = 3  Amplitude ist 3 y(max) = 0,5  Amplitude ist 0,5 Funktionsgraph: y = a sin x

Funktionsgraph: y = sin (bx) Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = sin (2x) und g(x) = y = sin (0,5x) im Intervall von -2π bis 2π (Schrittweite 0,25π) Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an. Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-) Funktionsgraph: y = sin (bx)

Funktionsgraph: y = sin (bx) Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktionen im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π) x sin (2x) sin (0,5x) 0,5π 0,71 0,75π -1 0,92 π 1 1,25π 1,5π 1,75π 0,38 2π 2,25π -0,38 2,5π -0,71 2,75π -0,92 3π 3,25π 3,5π 3,75π 4π x sin (2x) sin (0,5x) −2π −1,75π 1 -0,38 −1,5π -0,71 −1,25π -1 -0,92 − π −0,75π −0,5π −0,25π 0,25π 0,38 Funktionsgraph: y = sin (bx)

Funktionsgraph: y = sin (bx) Die Periodizität der Sinusfunktion wurde durch den Parameter b geändert. b = 2: die Periodenlänge wird halbiert, doppelt so viele periodische Wiederholungen b = ½ : die Periodenlänge wird verdoppelt, halb so viele periodische Wiederholungen Funktionsgraph: y = sin (bx)

Funktionsgraph: y = sin (bx) Der Parameter b in der Form y = sin (bx)… Verändert die Amplitude nicht Verändert Nullstellen und Periodizität! Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen in x- Richtung Funktionsgraph: y = sin (bx)

Funktionsgraph: y = a sin x Für y = sin (bx) gilt … b > 1: Periodenlänge verkürzt sich b = 1: Periodenlänge von 2π 0 < b < 1: Periodenlänge vergrößert sich b = 1  Periodenlänge 2π b = 2  Periodenlänge 1π b = 0,5  Periodenlänge 4 π Funktionsgraph: y = a sin x